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Conceptos fundamentales de la física - Parte 2


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Movimiento relativo

Las observaciones que se realizan en física son relativas al sistema de referencia desde donde son observadas, o sea desde el punto de vista del observador. Entonces, observadores ubicados en diferentes sistemas de referecia obtendrán distintas mediciones acerca de la posición, velocidad y aceleración de un determinado objeto o partícula. Por lo tanto, dos observadores que se mueven uno en relación al otro, genealmente no obtendrán los mismos resultados en sus mediciones.

Por ejemplo, si hay dos mujeres observando a un hombre que camina a velocidad normal sobre una cinta transportadora de un aeropuerto y una de ellas se encuentra parada sobre la misma cinta transportadora (observadora A) y la otra está fuera de la cinta (observadora B), la mujer que se encuentra parada sobre la cinta percibirá al hombre caminando a velocidad normal mientras que la que está parada fuera de la cinta verá al hombre moviéndose a una mayor velocidad. Para la mujer que se encuentra en el suelo estático fuera de la cinta (observadora B), la velocidad del hombre es una combinación de la velocidad de caminata normal más la velocidad de movimiento de la cinta. En cambio, como la observadora A se encuentra parada sobre la cinta, se mueve a la misma velocidad que se movería el hombre si él también estuviese detenido sobre la cinta (o sea que la observadora A se mueve a la misma velocidad de la cinta), pero como el hombre camina, ella solamente percibe la velocidad de caminata del hombre observado. Entonces, decimos que ambas mujeres observan al mismo hombre pero obtienen distintos resultados acerca de su velocidad. Esto ocurre porque se encuentran en distintos sistemas de referencia que se mueven uno en relación al otro. El sistema de referencia de una de las mujeres es la misma cinta donde se encuentra el hombre y el sistema de referencia de la otra es el suelo estático fuera de la cinta. La diferencia entre ambos resultados obtenidos es la velocidad relativa entre ambos sistemas de referencia.

Movimiento relativo en fisica
La mujer que se encuentra en la cinta transportadora ve al hombre moviéndose a la velocidad de caminata normal mientras que la mujer que se encuentra en el suelo estático lo ve moverse más rápido (velocidad de caminata + velocidad de la cinta).

Veamos otro ejemplo: si una persona (observador A) que está andando en un skate en movimiento, lanza hacia arriba una pelota, verá que la pelota se mueve de manera rectilínea hacia arriba y luego hacia abajo por la misma línea vertical a causa de la gravedad, mientras que un observador B que se encuentra parado en el piso percibirá que la pelota recorre una trayectoria con forma de parábola, con un componente vertical resultado del lanzamiento hacia arriba y la atracción de gravedad y un componente horizontal producto del movimiento del skate.

Movimiento relativo segun sistemas de referencia
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Para graficarlo de una manera más general, imaginemos una partícula P cuya posición y movimiento son descritos por dos observadores ubicados en distintos sistemas de referencia, uno en el Sistema T y otro en el Sistema B. El Sistema T se encuentra fijo en el suelo, mientras que el Sistema B se mueve hacia la derecha respecto al Sistema T a velocidad constante v0. Para el observador ubicado en el Sistema B, el Sistema T se mueve hacia la izquierda a velocidad constante negativa -v0. Para hacerlo más simple, digamos que cada uno de los dos observadores están parados en el punto de origen de sus respectivos sistemas de referencia. Definimos el tiempo t = 0 al instante inicial en que los orígenes de ambos sistemas de referencia coinciden en el espacio. Por lo tanto, en algún instante t el origen del Sistema B se encontrará a una distancia de v0t del origen del Sistema T.

Sistemas de referencia en fisica
Sistemas de referencia

Veamos la fórmula para definir las posiciones de la partícula P en distintos instantes t1 y t2 en relación al Sistema T:

r1PT = r1PB + r1BT en t1(Posición de P respecto al origen del Sistema T es igual a la suma de la posición de P respecto al origen del Sistema B más la posición del origen del Sistema B respecto al origen del Sistema T en el instante t1).

r2PT = r2PB + r2BT
en t2(Posición de P respecto al origen del Sistema T es igual a la suma de la posición de P respecto al origen del Sistema B más la posición del origen del Sistema B respecto al origen del Sistema T en el instante t2).

Si dividimos la diferencia de posición de P respecto al origen del Sistema T entre los instantes t1 y t2. (Recordemos que utilizamos la letra delta Δ para simbolizar la diferencia).  

ΔrPT / Δt = (ΔrPB + ΔrBT) / Δt

Lo que equivale a decir que la velocidad de la partícula P respecto al origen del Sistema T es igual a la suma de la velocidad de la partícula P respecto al origen del Sistema B más la velocidad del origen del Sistema B con respecto al origen del Sistema T.

vPT = vPB + vBT  que en este caso al ser vPB igual a v0 (velocidad constante) obtenemos que vPT = v0 + vBT.

A esta fórmula para obtener velocidades relativas a distintos sistemas de referencia se la denomina transformación de Galileo.

Para la aceleración es lo mismo. Si el Sistema B se mueve a velocidad constante v0 respecto al Sistema T:

ΔvPT / Δt =
(ΔvPB / Δt) + (ΔvBT / Δt) = (ΔvPB / Δt) + (Δv0 / Δt) = (ΔvPB / Δt) + 0 = a

Por lo tanto, dado que el Sistema B se mueve a velocidad constante v0, no se acelera. Entonces la aceleración a de la partícula P respecto al origen del Sistema T es la misma que la aceleración de la partícula P respecto al origen del Sistema B.

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Veamos algunos ejemplos prácticos de movimiento relativo:

Ejemplo 1:

Un bote cruza un río de 60 metros de ancho con una velocidad de 4 m/s respecto al agua, orientado de tal forma que, si las aguas estuvieran quietas, cruzaría perpendicularmente a las orillas. El bote parte de un punto A ubicado sobre una de las márgenes y llega a otro punto B en la margen opuesta, distante 100 metros de A. ¿Cuál es la velocidad del bote respecto de tierra, cuánto tarda en cruzar el río y cuál es la velocidad hacia la derecha de la corriente de agua?

Ejemplo de un bote en movimiento relativo
Imagen del ejemplo del bote que parte del punto A rumbo a la orilla opuesta pero que por causas de la corriente de agua termina en el punto B

Velocidad del bote respecto al agua = vBOAG = 4 m/s
Velocidad del bote respecto a la tierra = vBOTI
Velocidad del agua respecto a la tierra = vAGTI
 
Entonces vBOTI = vAGTI + vBOAG
 
Para averiguar la velocidad del bote respecto de tierra, deberemos utilizar las herramientas trigonométricas que aprendimos en la primera parte de esta guía.

Primero, debemos obtener el ángulo θque se forma entre la trayectoria perpendicular a las orillas que recorrería el bote si las aguas no lo empujaran hacia la derecha y la verdadera trayectoria que termina recorriendo. Para esto, utilizaremos la herramienta trigonométrica coseno (recordemos que el coseno equivale a dividir el cateto adyacente al ángulo que nos interesa sobre la hipotenusa del triángulo que se forma):

cos θ = 60 m / 100 m = 0,6

0,6 es el coseno de un ángulo de 53
°

De ahí sabemos entonces que además:

cos θ = vBOAG / vBOTI  por lo tanto 0,6 = 4m/s / vBOTI

Despejamos vBOTI y obtenemos:

vBOTI = 4m/s / 0,6 = 6,6 m/s

Por lo tanto, la velocidad del bote respecto a tierra es de 6,6 m/s

Si la trayectoria en diagonal que recorre el bote a causa de la corriente de agua en movimiento es de 100 metros, para saber en cuánto tiempo recorre esa distancia entre los puntos A y B, debemos utilizar la siguiente fórmula:

Δr / Δt = vBOTI = 6,6 m/s

si despejamos obtenemos:

Δt = Δr / vBOTI = 100 / 6,6 = 15,15 segundos

Por lo tanto, el bote tardará 15,15 segundos en cruzar del punto A al punto B.

Ahora falta averiguar la velocidad de la corriente de agua respecto a tierra, que empuja al bote en diagonal hacia el punto B.

Para esto nuevamente aplicamos las herramientas de trigonometría, en este caso debemos averiguar el seno de un ángulo de 53° (recordemos que el seno de un ángulo equivale a dividir el cateto opuesto del ángulo que nos interesa sobre la hipotenusa del triángulo que se forma):

De la calculadora obtenemos que el seno de un ángulo de 53° equivale a 0,8.

Entonces si sen θ = 0,8 = vAGTI / 6,6 m/s

6,6 m/s x 0,8 = 5,28 m/s

Por lo tanto, la velocidad hacia la derecha de la corriente de agua respecto a tierra es de 5,28 m/s

De paso, con este ejemplo pueden darse cuenta de lo sencilla, pero aún así poderosa que es la trigonometría como herramienta y la gran utilidad que tiene para la resolución de problemas prácticos de la física, ingeniería, arquitectura, navegación y otras disciplinas.
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Ejemplo 2:

Un avión para dirigirse hacia el Este, debe volar orientado como se indica en la imagen que está un poco más abajo, 17° hacia el Estesureste. En una hora recorre 300 kilómetros en la dirección Oeste-Este. ¿Cuál es la velocidad del viento y su dirección?

Este es un ejemplo muy práctico, ya que los pilotos deben aplicarlo para poder alcanzar el destino planeado previendo los efectos del viento a causa de su velocidad y dirección.

Si el avión recorre una distancia de 300 kilómetros en dirección Este-Oeste en una hora significa que se mueve a una velocidad de 300 km/h hacia el Este.

Movimiento relativo de un avion
El avión tuerce su orientación 17
° para contrarrestar el viento

Primero, debemos pasar estas magnitudes a las unidades estándares utilizadas en física, de metros y segundos.


300 kilómetros = 300.000 metros
1 hora = 3600 segundos

Por lo tanto, la velocidad en m/s es de 300.000 / 3600 = 83,33 m/s hacia el Este.

Ya que el ángulo de orientación que toma el avión es de 17° desde la trayectoria planeada para contrarrestar los efectos del viento, utilizamos nuevamente las herramientas trigonométricas que nos permiten averiguar la velocidad hacia el Estesudeste que desarrolla el avión para lograr viajar a 83,33 m/s hacia el Este.

Averiguamos primero el coseno de 1 (que equivale al cociente de dividir el cateto adyacente al ángulo que nos interesa sobre la hipotenusa):

Cos 17° = 0,956

Entonces 0,956 = 83,33 m/s / velocidad de trayectoria diagonal

Si despejamos: velocidad de trayectoria diagonal = 83,33 m/s / 0,956 = 87,16 m/s

Ahora debemos conocer la velocidad del viento (que por deducción lógica nos damos cuenta que se dirige hacia el Norte). Eso equivale a averiguar la longitud del cateto opuesto al ángulo de 17° del triángulo imaginario que se forma como en la imagen de arriba.

Por lo tanto, primero averiguamos el seno de 1 (que equivale al cociente de dividir el cateto opuesto al ángulo que nos interesa sobre la hipotenusa):

Sen 17° = 0,292

Entonces 0,292 = velocidad del viento / 87,16 m/s

Si despejamos: velocidad del viento = 0,292 x 87,16 = 25,45 m/s hacia el Norte

Decimos entonces que la velocidad del avión con respecto al viento es de 87,16 m/s en dirección 17° rumbo al Estesudeste mientras que la velocidad del viento con respecto a la Tierra es de 25,45 m/s hacia el Norte; por lo tanto la velocidad del avión con respecto a la Tierra es de 83,33 m/s hacia el Este. Esto cumple con las leyes físicas de movimiento relativo que indican que la velocidad del avión con respecto a la Tierra es igual a la suma de la velocidad del avión con respecto al viento más la velocidad del viento con respecto a la Tierra; lo que equivale a la suma del vector velocidad del avión respecto al viento más el vector velocidad del viento respecto a la Tierra.

Para pasar la velocidad del viento a km/h multiplicamos su velocidad de m/s por 3600 segundos que tiene 1 hora, de esta manera obtenemos 25,45 m/s x 3600 = 91620 metros/hora = 91,62 km/h

Por lo tanto, obtenemos que el viento sopla a 91,62 km/h hacia el Norte.
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Movimiento circular uniforme

Antes de comenzar a explicar cómo funciona el movimiento circular uniforme de los objetos, debemos aclarar algunos conceptos geométricos y matemáticos acerca del círculo. Dichos conceptos o herramientas matemáticas serán utilizadas en física para entender mejor los movimientos circulares.

Partes del circulo
Partes de un círculo

Los círculos son formas geométricas compuestas por una circunferencia curva, formada por puntos que se encuentran todos a la misma distancia desde el centro del círculo; un radio que es una línea que une el centro del círculo con cualquier punto de la circunferencia (el radio siempre tiene la misma longitud sin importar hacia qué parte de la circunferencia apunta); el diámetro que es una línea que cruza todo el círculo uniendo dos puntos de la circunferencia y siempre pasando por el centro del círculo, o sea que vendría a ser una línea que une a un punto de la circunferencia con el punto de dicha circunferencia que se encuentra más lejos desde ese primer punto, en otras palabras, une a dos puntos de la circunferencia opuestos entre sí, el diámetro tiene el doble de longitud que el radio. 

Diametro en circunferencia
El diámetro de los círculos entra 3,1416 veces en su circunferencia

Las circunferencias de todos los círculos, sin excepciones, siempre tienen una longitud que equivale a unas 3,1416 veces la longitud de sus diámetros. Esto significa que si torcemos el diámetro de un círculo para que coincida con la circunferencia de su círculo y multiplicamos 3,1416 veces su longitud, obtendremos la longitud exacta de su circunferencia; en otras palabras el diámetro entra 3,1416 veces en la circunferencia de su círculo.

Este valor es conocido en matemática y geometría con el nombre de número π (por la letra griega pi), y en realidad su valor es irracional (infinitas cifras en la parte decimal del número) 3,14159265358979323846…; pero por razones de simpleza y practicidad lo podemos redondear a cinco cifras significativas en 3,1416 o incluso tres a 3,14; dependiendo de las necesidades del caso en cuestión. Si lo utilizamos en cálculos de partículas subatómicas podemos tomar más cifras significativas pero si estamos con ejemplos de la vida cotidiana como los de movimiento de automóviles, objetos, aviones, medidas de estructuras, etc; con cinco o tres cifras significativas alcanza.

Dado que el radio de un círculo equivale a la mitad del diámetro de este mismo círculo, llegamos a la conclusión de que el radio entra en la circunferencia 2π veces; o sea unas 6,2832 veces. De ahí que la fórmula de la longitud de la circunferencia de cualquier círculo es:

Longitud de circunferencia del círculo = 2πr (donde r es el radio del círculo)

O sea, que la circunferencia de un círculo mide 6,2832 veces su radio.

Veamos un ejemplo:

Un corredor que va a trotar a un parque con forma circular quiere averiguar qué distancia recorrerá con cada vuelta alrededor del parque; para ello averiguó que su radio (línea entre el centro y el borde del parque) es de exactamente 300 metros.

Parque con forma circular
Parque con forma circular y con radio de 300 metros

Entonces, de la fórmula 2πr; debemos multiplicar 300 metros del radio del círculo por 6,28 (3,14 x 2):

x 300m = 6,28 x 300 m = 1884 metros

Por lo tanto, el corredor recorrerá 1884 metros (1,884 km) con cada vuelta alrededor del parque circular.
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De aquí radica otra herramienta que es muy utilizada en física y es la de los radianes. Por motivos de mayor exactitud y mejor compatibilidad con los cálculos geométricos y matemáticos que se aplican en física y otros campos de las ciencias exactas el Sistema Internacional de Unidades mide los ángulos que se forman en una circunferencia a partir de dos semirectas que parten del centro del círculo, con esta unidad llamada radián. Un radián ocupa un arco (sector o parte de la circunferencia) de la circunferencia con longitud igual a la del radio del círculo. Su símbolo según el SI (Sistema Internacional de Unidades) es rad.

Que es un radian
A cuánto equivale un ángulo de 1 rad (radián)

Entonces, si una circunferencia completa tiene un ángulo de 360°, llegamos a la conclusión de que 360° equivalen a 6,2832 radianes (porque esa es la cantidad de veces que entra el radio de un círculo en la circunferencia completa de este círculo). 180° equivalen a 3,1416 radiandes.
 
P
ara averiguar entonces a cuántos riadianes equivale un ángulo de 1° simplemente hay que dividir 6,2832 / 360, o sino 3,1416 / 180 (π / 180):

De dicho cálculo concluimos que 1° = 3,1416 / 180 = 0,17453 rad
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Finalmente, antes de comenzar a estudiar los movimientos circulares debemos conocer los conceptos de frecuencia, ciclos y período.

La frecuencia es algo que se utiliza muchísimo en física para describir diferentes fenómenos que van desde la medición de movimientos circulares, hasta aquellos pertenecientes a ramas de la física como el electromagnetismo o tecnologías como la electrónica.

En el estudio de movimientos circulares denominamos frecuencia a la cantidad de vueltas que pueden darse por la circunferencia de un círculo por segundo. La frecuencia se mide en ciclos por segundo (vueltas por segundo para traducirlo de una manera fácil de entender) con una unidad llamada Hertz (en honor al físico alemán Heinrich Rudolf Hertz) y se simboliza como Hz.

Entonces, si las aspas de un ventilador rotan 100 veces por segundo decimos que la frecuencia de rotación es de 100 Hz (100 ciclos por segundo). En otro ejemplo, si una bola atada con una soga se la hace girar a 5 vueltas por segundo decimos que tiene una frecuencia de giro de 5 Hz (5 ciclos por segundo).

La fórmula para describir la frecuencia de 1 Hz (1 ciclo por segundo) es: f = 1/s = 1 Hz

El período es el tiempo que le toma a un cuerpo para dar una vuelta completa por la circunferencia de un círculo (o sea el tiempo que requiere para recorer un ángulo con arco de 2π radianes o 360°). Entonces, si un corredor realiza una vuelta completa alrededor de un parque con forma circular en 15 minutos significa que el período de movimiento circular es de 900 segundos (recordemos que en física utilizamos las unidades del Sistema Internacional de Unidades y 15 minutos equivalen a 900 segundos). El período se simboliza con la letra T.

Si las aspas de un ventilador realizan 100 rotaciones por segundo, esto significa que el período de rotación (el tiempo que tarda en dar un giro completo) es de 1 / 100Hz = 0,01 segundos.

La siguiente ecuación nos dice que un período T es igual a 1/f (1 dividido la frecuencia):

T = 1/f

Veamos otros ejemplos:

El período T de rotación de una bola atada a una soga que se la hace girar a 5 vueltas por segundo (frecuencia f de 5 Hz) es igual a 1 / 5 Hz; por lo tanto decimos que T = 0,2 segundos.

El período T de rotación del minutero de un reloj analógico es el siguiente:

Si su frecuencia f es de 1 / 60 segundos = 0,01666666666666 Hz; el período T que tarda en dar un giro completo alrededor del reloj es:

T = 1 / 0,0166666666666666; o sea 1 / (1/ 60s) = 60s
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Ahora que ya se han descrito las partes del círculo, su relación con el número π y explicado los conceptos de frecuencia, ciclos y período, podemos comenzar a analizar el movimiento circular uniforme.

Anteriormente se ha explicado que en física la aceleración equivale a la tasa de cambio de la velocidad de un cuerpo y que es provocada siempre por una fuerza que se aplica sobre dicho cuerpo, ya sea en el mismo sentido de su movimiento actual (aceleración o incremento de la velocidad) o en sentido contrario a su movimiento actual (desaceleracion o disminución de la velocidad). El movimiento circular uniforme es aquel en el que un objeto realiza un movimiento siguiendo una trayectoria circular y a una velocidad constante pero aún así a causa de una fuerza centrípeta (fuerza dirigida hacia el centro del círculo de la trayectoria que sigue el objeto). Pero se preguntarán, ¿cómo puede ser que si al objeto se le aplica una fuerza, la magnitud de su velocidad sea constante? La respuesta está en que al aplicarse una fuerza sobre un objeto, los cambios que se pueden dar sobre el vector de la velocidad pueden manifestarse en un cambio de magnitud (mayor o menor velocidad) o en un cambio de su dirección (o sea que la dirección de la flecha del vector gira hacia alguno de los lados en el espacio, provocada por la fuerza). Como ya se explicó en la primera parte de este tutorial, las magnitudes vectoriales a diferencia de las escalares, además de valor numérico también tienen sentido y dirección. Por lo tanto, al aplicarse una fuerza sobre el objeto, podrán variar la longitud del vector velocidad, la dirección del vector velocidad o ambas. En el caso del movimiento circular uniforme, el valor de la velocidad (longitud del vector) se mantiene constante y lo que varía es su dirección.

Movimiento circular uniforme
Ejemplo del movimiento circular uniforme - El movimiento de un satélite alrededor de un planeta

En el movimiento circular uniforme, la fuerza centrípeta actúa hacia el centro del círculo de la trayectoria y siempre perpendicular a la dirección del vector de la velocidad del objeto y a la trayectoria de movimiento circular (esto equivale a decir que la dirección de la fuerza aplicada coincide con el radio del círculo de la trayectoria); por eso algunos físicos y profesores llaman a la fuerza centrípeta como fuerza de dirección radial. La fueza centrípeta (o de dirección radial) genera el constante cambio de dirección del vector velocidad y a esto se le llama aceleración centrípeta, que es siempre perpendicular a la trayectoria circular y al vector velocidad, y coincide con la dirección del radio del círculo que se forma. En el movimiento circular uniforme, el vector velocidad siempre debe ser tangente a la circunferencia de la trayectoria circular (una recta tangente a un círculo es aquella que lo toca en un solo punto de la circunferencia y no lo cruza al círculo en ningún otro punto salvo en ese).

En el movimiento circular uniforme solamente varía la dirección de la velocidad y no su magnitud, por lo tanto solamente hay aceleración centrípeta (siempre perpendicular al movimiento) y no hay aceleración tangencial (la que coincidiría con el vector velocidad y que haría variar su longitud o valor). La fórmula para averiguar la aceleración centrípeta del movimiento es la siguiente:

Aceleración centrípeta = u2 / r (donde u es el valor de la velocidad o longitud del vector velocidad y r el radio del círculo del movimiento circular uniforme)

Pero seguramente ahora se preguntan ¿cómo llegamos a esta fórmula? Por eso, pasaremos a explicar los pasos para haber llegado a la misma: 

Como se obtiene la ecuacion de movimiento circular uniforme

Consideremos durante el movimiento circular uniforme de un objeto su posición y velocidad en dos instantes cercanos llamados ti y tf, representados por vectores de posición y velocidad r y v respectivamente. En el momento ti, el objeto se encuentra en un punto A representado por el vector posición ri y su velocidad es vi; mientras que en el momento tf, se encuentra en un punto B representado por el vector posición rf y su velocidad es vf. Las velocidades vi y vf tienen igual magnitud y difieren únicamente en su dirección. Además, se muestran los vectores de diferencia de posición Δr y diferencia de velocidad Δv.
 
Sabemos que el valor de la velocidad (valor al que llamaremos u) siempre es el mismo y lo único que cambia es la dirección de la velocidad, por lo tanto:

u = ui = uf

Ahora debemos averiguar la aceleración, para ello utilizamos la ecuación para calcular la aceleración promedio:

a = (vf - vi) / (tf - ti) = Δv / Δt (o sea que la aceleración promedio equivale a dividir la diferencia de los vectores de velocidad en los instantes ti y tf entre el tiempo transcurrido entre ti y tf)

Si hacemos los cálculos vectoriales (como se enseñó en la primera parte de este tutorial) con los vectores de velocidad vi, vf en los tiempos ti,tf y el vector diferencia de velocidad Δv, colocándolos uno pegado al otro, obtenemos de la suma de vectores:

vf = vi + Δv

Entre los vectores de posición ri y rf unidos por Δr se forma un triángulo con ángulo Δθ; entre los vectores velocidad vi y vf unidos por Δv también se forma un triángulo con ángulo Δθ. Como los vectores de posición r y velocidad v son en todo momento perpendiculares entre sí (el vector posición equivale siempre al radio del círculo de trayectoria y el vector velocidad es siempre tangente a la circunferencia), los dos ángulos que se forman entre ri^rf y vi^vf son iguales (en este caso Δθ), por lo tanto los triángulos que se forman son similares (dos triángulos son similares cuando el ángulo entre cualquiera de sus lados es siempre el mismo y la razón o proporción de la longitud de estos lados es siempre la misma). Esto nos permite realizar la siguiente relación:

Δv / u = Δr / r

donde u = ui = uf es el valor o longitud del vector velocidad en todo momento y r = ri = rf es la longitud del vector posición (equivalente al radio del círculo) en todo momento.

Si despejamos Δv en la ecuación obtenemos:

Δv = u (Δr / r)

Y como a =  Δv / Δt

Si sustituimos Δv por u (Δr / r) obtenemos la fórmula:

a = Δv / Δt = (u / r) (Δr / Δt)

Si ahora hacemos que los puntos A y B representados por los vectores posición ri y rf en los instantes ti y tf estén lo más cerca posible y Δt tienda a 0; Δr / Δt tenderá a la velocidad u en el instante ti y la aceleración promedio se convertirá en la aceleración instantánea en el punto A. Por lo tanto:

ac = dv / dt = (u / r) (dr / dt) = (u . u) / r = u2 / r (donde ac es aceleración centrípeta en cualquier instante y dr / dt es la velocidad instantánea del objeto en movimiento).

Una cosa que hay que aclarar es que a pesar que de la fórmula para obtener la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme llegamos a la conclusión que su magnitud siempre es la misma o constante, esto no significa que su vector sea constante ya que su dirección cambia constantemente durante el movimiento circular y dado que siempre apunta hacia el centro del círculo. Lo único constante del vector aceleración en este tipo de movimiento es su valor o longitud de vector.

Otra manera de representar la aceleración centrípeta es mediante la velocidad angular de un movimiento circular uniforme. La velocidad angular se simboliza con la letra griega ω (omega) y representa radianes por segundo.

ω
= Δθ
Δt = 2π / T = 2πf = 2π/sec (donde T equivale a un período y f a la frecuencia que es igual a 1/T y sec a segundos).

Para obtener la velocidad de movimiento circular uniforme del objeto; multiplicamos su velocidad angular por el radio del círculo de la trayectoria de movimiento.

u =
ω . r = (2π/sec) r

Entonces como la fórmula para obtener la aceleración centrípeta es u2 / r:

ac = u2 / r = . r)2 / r = ω2 . r

Así que la aceleración centrípeta también puede representarse con la velocidad angular mediante la ecuación:

ac = ω2 . r

Veamos algunos ejemplos de movimiento circular uniforme:

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Ejemplo 1:

Movimiento orbital de la Luna
Movimiento orbital de la Luna alrededor de la Tierra

Los objetos que se encuentran en la Tierra y giran junto al planeta en las alturas donde los seres humanos habitamos, aproximadamente caen con una aceleración de 9,81 m/s2 con dirección hacia el centro del planeta; sin embargo cuanto más ascendemos la aceleración centrípeta va descendiendo; a continuación averiguaremos la aceleración centrípeta de la Luna, en su movimiento alrededor de la Tierra. Para ello consideraremos que la trayectoria de la luna es circular (aunque en realidad es casi circular ya que es más bien elíptica) y utilizaremos la ecuación:

ac = ω2 . r

Donde ω es la velocidad angular de la Luna en radianes por segundo y r el radio de distancia del círculo tomado desde el centro de la Luna al centro de la Tierra. El período T de la Luna (tiempo que tarda en dar una revolución completa alrededor de la Tierra) es de 27,2122 días; y la distancia promedio del centro de la Luna al centro de la Tierra de 384.600 kilómetros.

Primero pasaremos las unidades dadas a aquellas del SI; días a segundos y kilómetros a metros.

384.600 kms = 384.600.000 metros (ya que 1 kilómetro tiene 1000 metros)
27,2122 días = 27,2122 x 86.400 segundos = 2.351.134,08 segundos (ya que 1 día tiene 86.400 segundos)

Por lo tanto ω = 2π / 2.351.134,08s = 2,67 x 10-6 rad/sec = 0,00000267 rad/sec

Aplicando ac = ω2 . r:

ac = (0,00000267)2 x 384.600.000m = 0,0027 m/s2 = 2,7 x 10-3 m/s2

Por lo tanto, la aceleración centrípeta de la Luna es de unos 2,7 x 10-3 m/s2 que es lo mismo a decir 0,0027 m/s2
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Ejemplo 2:

Pista circular movimiento circular uniforme

Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la pista. Si el automóvil tiene aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido.

v = 72 km/h como 72 km equivalen a 72.000 metros y 1 hora tiene 3600 segundos; pasamos km/h a m/s.

v = 72.000m / 3600s = 20 m/s

T = 60 segundos

Como ω = 2π / 60s = π / 30s = 0,105 rad/s

de u = ω . r si despejamos tenemos:  r = u / ω

r = 20m/s / 0,105 rad/s = 190,5 m

Ahora averiguaremos la aceleración centrípeta de este movimiento circular uniforme:

Utilizando la ecuación ac = u2 / r tenemos:

ac = 202m/s / 190,5 m = 2,1 m/s2

Por lo tanto el radio de la pista circular es de 190,5 metros y la aceleración centrípeta del movimiento del automóvil es de 2,1 m/s2 con dirección radial y sentido hacia el centro del círculo.
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Movimiento circular variado

Hasta este punto hemos estudiado movimientos circulares uniformes, en los que la velocidad (o sea la longitud del vector velocidad) no varía. Ahora estudiaremos movimientos circulares en los que además de la dirección del vector velocidad también varía su módulo (longitud), esto significa que además de aceleración centrípeta (aceleración con dirección radial) también tienen en un instante determinado aceleración con misma dirección que la del vector velocidad (tangente al círculo de la trayectoria), y que aumenta o disminuye el valor de esa velocidad.

Movimiento circular variado

Consideremos el movimiento de una partícula a través de una trayectoria curva en la que la velocidad varía tanto en dirección como en magnitud, como se muestra en la imagen de arriba; donde una partícula se mueve con una trayectoria curva de forma arbitraria. En este ejemplo el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria circular pero el vector aceleración tiene una dirección a cierto ángulo de la trayectoria del movimiento. En cada uno de los puntos A, B y C que elegimos al azar, dibujamos tres círculos con líneas punteadas que representan el movimiento circular de la trayectoria en cada uno de esos puntos. El radio del círculo es igual al radio de curvatura de la trayectoria en cada uno de los puntos.

A lo largo del movimiento de la partícula por la trayectoria curva, la dirección del vector de aceleración total varía de un punto al otro. La aceleración a en el movimiento circular variado es el resultado de la suma vectorial de la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial. Esto puede representarse en un vector aceleración con dos componentes vectoriales que tienen su origen en el centro del círculo de líneas punteadas: un componente radial ar (con la misma dirección que el radio del círculo) y un componente tangencial at perpendicular al radio del círculo. Por lo tanto, la aceleración total en el movimiento circular variado es igual a la suma vectorial de la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial:

a = ar + at 

La aceleración tangencial causa la variación de la velocidad de la partícula. Este componente vectorial en el movimiento circular variado tiene la misma dirección que la velocidad instantánea, hace variar el valor de la velocidad y se representa como en el movimiento lineal:

at = dv / dt

Mientras que el componente radial de la aceleración en el movimiento circular variado equivale a la aceleración centrípeta que genera la variación de dirección del vector velocidad y se representa como hemos visto anteriormente con el movimiento circular uniforme de la siguiente manera:

ar = acentrípeta = u2 / r

La dirección del componente radial de la aceleración en el movimiento circular variado equivale a la aceleración centrípeta y su dirección coincide con la dirección del radio del círculo que representa el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto determinado y su sentido es hacia el centro de dicho círculo.

Dado que los componentes vectoriales ar y at del vector aceleración a en el movimiento circular variado son perpendiculares entre sí, la magnitud de la aceleración a se puede obtener a través de la fórmula del teorema de Pitágoras.

a = √ar2 + at2
 
En el que la aceleración en el movimiento circular variado es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la aceleración radial (centrípeta) más la aceleración tangencial.

En un determinado punto, la aceleración centrípeta ar es grande cuando el radio de curvatura es pequeño (o sea que el círculo que representa la curvatura de la trayectoria en ese punto determinado tiene un radio más pequeño y hace que la curva sea más pronunciada en la trayectoria) como en los puntos A y B, mientras que la aceleración centrípeta ar es pequeña si el radio de curvatura del círculo que representa la curvatura de la trayectoria es grande, como en el punto C. Esto se da porque a mayor aceleración centrípeta se provoca una mayor torción de la trayectoria y a menor aceleración centrípeta la torción o curva provocada es más suave o menos pronunciada.
 
La aceleración tangencial at tiene la misma dirección que el vector velocidad v, y el mismo sentido que la velocidad si el valor u del vector velocidad v aumenta o sentido contrario si el valor u de la velocidad disminuye (a esta altura ya se deben comprender bien los significados de los términos sentido y dirección de los vectores, que aprendimos en la primera parte).
 
Como se describió anteriormente, en el movimiento circular uniforme, el valor u de la velocidad v es constantemente igual, gracias a que la aceleración tangencial es siempre igual a cero at = 0. La aceleración a es siempre totalmente radial, y lo único que varía del vector velocidad es su dirección. Por otro lado, si la dirección del vector velocidad no cambia, esto significa que no hay componente radial de la aceleración (aceleración centrípeta) y el movimiento es lineal, o sea que la aceleración ar = 0 y la at puede llegar a ser distinta de 0 haciendo variar el valor de la velocidad.

Por lo tanto una ecuación general para el movimiento circular variado es:

a = ar + at = (u2 / r) + (dv / dt)

Veamos un ejemplo de movimiento circular variado:

Ejemplo movimiento circular variado

Un automóvil en movimiento por una carretera en terreno accidentado tiene una aceleración de 0,3 m/s2 con misma dirección que la carretera por la que transita. El automóvil pasa por la cúspide de una loma por la que pasa la ruta con forma circular con radio de curvatura de 500 metros. Al momento en que el automóvil está en la cúspide de la lomada, el vector velocidad tiene dirección horizontal y una magnitud de 6 m/s. ¿Cuál es la dirección del vector aceleración total del automóvil al instante de pasar por el punto más alto de la lomada?
 
Vamos a graficar la situación en una imagen; como el automóvil se mueve por una trayectoria curva de la ruta en una lomada del terreno podemos considerar que su movimiento experimenta una aceleración tangencial y una aceleración radial (centrípeta).

Como sabemos que en el punto más alto de la carretera, el automóvil tiene una velocidad de 6 m/s y el radio de curvatura de la lomada en ese punto es de 500 metros; de la fórmula de aceleración centrípeta u2 / r obtenemos que el componente radial de la aceleración es:

ar = u2 / r = (6m/s)2 / 500m = 0,072 m/s2

En ese punto, el vector de la aceleración radial tiene dirección vertical con sentido hacia abajo, mientras que el vector de la aceleración tangencial tiene una magnitud de 0,3 m/s2 y dirección horizontal.

Dado que a = ar + at la magnitud de a es:

a = √ar2 + at2 = √(0,072)2 + (0,3)2 m/s2 = 0,309 m/s2

Si Φ es el ángulo entre la aceleración total a y la aceleración at horizontal entonces:

Usamos la herramienta trigonométrica tangente, que obtenemos al dividir el cateto opuesto sobre el cateto adyacente al ángulo cuyo valor queremos averiguar. Luego con la calculadora buscamos a qué ángulo corresponde ese valor de tangente (esto último se simboliza como tan-1, que significa hacer el proceso inverso a averiguar el valor de tangente de un ángulo, o sea buscar a qué ángulo corresponde un valor de tangente).
 
Φ = tan-1ar/at = tan-1 (0,072 m/s2 / 0,3 m/s2) = 13,5°

Por lo tanto, la aceleración total del automóvil tiene una dirección de 13,5° hacia abajo de la horizontal en el momento de pasar por la cúspide de la lomada.
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En la próxima parte del tutorial estudiaremos conceptos de la física como la dinámica y la energía.


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Comments

 Un grandísimo artículo

 Un grandísimo artículo de mucha ayuda para los que estamos empezando a estudiar física. 

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