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Ecuación horaria de la posición en el movimiento rectilíneo uniformemente variado

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Ecuación horaria de la posición en el movimiento rectilíneo uniformemente variado

 

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Ahora buscaremos la ecuación general que nos permitirá conocer la posición de un cuerpo con movimiento rectilíneo uniformemente variado luego de un determinado tiempo de estar moviéndose. Para eso primero hagamos la gráfica de velocidad en función del tiempo para el movimiento rectilíneo uniformemente variado:

Como en el caso del movimiento rectilíneo uniforme, Δx = v . Δt , solamente que en el caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado como la velocidad no es constante sino que varía, su gráfica no será una línea horizontal sino que una línea recta con inclinación, por lo que su valor en lugar de ser igual al área de un rectángulo será igual al área de un trapecio rectángulo (un cuadrilátero con dos ángulos internos rectos, uno agudo y el otro obtuso como el que se muestra en la imagen de abajo) que no es más que un triángulo rectángulo (que tiene un ángulo recto de 90°) sumado a un rectángulo. Esto si la velocidad inicial del movimiento es mayor a 0 m/s. Si la velocidad inicial v1 es de 0 m/s en t1 entonces no sería un trapecio rectángulo lo que se formaría sino que directamente un triángulo rectángulo (que sería el trapecio sin la parte del rectángulo de abajo). Eso sería así porque de la ecuación horaria de la velocidad v(t) = v0 + a(t - t0), tenemos que al término del producto de multiplicar la aceleración por el intervalo de tiempo en que ésta ha actuado hay que sumarle la velocidad constante que tenía al iniciar el análisis del movimiento en cuestión, pero si al inicio su velocidad constante era de 0 m/s, la gráfica comenzará abajo, a la altura del eje x, por lo que solamente se formará un triángulo rectángulo.

Por lo tanto la fórmula Δx = v . Δt, en este caso como debemos sumarle a la velocidad inicial constante multiplicada por el intervalo de tiempo Δt (área rectangular), la velocidad cambiante posterior causada por la aceleración (área triangular). Entonces:

Δx = x2 - x1 = v1 . (t2 - t1) + [(v2 - v1) . (t2 - t1)] / 2
y como v2 - v1es igual a: a(t2 - t1)
x2 - x1 = v1 . (t2 - t1) + [a(t2 - t1) . (t2 - t1)] / 2

x2 - x1 = v1 . (t2 - t1) + a(t2 - t1)2 / 2

x2 = x2 + v1 . (t2 - t1) + 1/2 a(t2 - t1)2

Y si lo pasamos a una forma más generalizada tenemos:

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1/2 a(t - t0)2

Donde la posición x en el instante t es igual a la posición inicial x0 más la velocidad inicial multiplicada por el intervalo de tiempo analizado entre el instante inicial t0 y el instante final t, más la mitad de la aceleración multiplicada por el cuadrado del intervalo de tiempo transcurrido entre t0 y t. Se denomina ecuación horaria de posición para el movimiento rectilíneo uniformemente variado.

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