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Ejemplo de tiro oblicuo en física

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Ejemplo de tiro oblicuo en física

 

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Un gato de 50 centímetros de altura maúlla con ganas, instalado sobre un muro de 2,5 metros de altura. Juan está en su jardín, frente a él y a 18 metros del muro, y pretende ahuyentarlo arrojándole un zapato. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando 53° con la horizontal, desde una altura de 2,25 metros.

a) Hallar a qué distancia por encima de donde estaba el gato pasó el zapato.

b) Determinar a qué distancia al otro lado del muro llegó el zapato al piso.

Lo primero que tenemos que hacer es determinar los puntos de referencia de origen del sistema, que en este caso y = 0 a la altura del suelo mientras que x = 0 al mismo nivel horizontal desde donde parte el zapato.

Luego hay que hallar en qué instante el zapato pasará por la posición x del gato sobre el muro, que es 18 metros desde la mano de Juan.

Como el zapato parte a una velocidad de 15 m/s formando 53° con la horizontal sus componentes verticales y horizontales serán:

vy = 15m/s . sen 53° = 12m/s
vx = 15m/s . cos 53° = 9m/s

Dado que su velocidad horizontal constante es de 9m/s, de la ecuación horaria de posición en el movimiento rectilíneo uniforme y despejando el instante t obtenemos:

18 = 0 + 9 . (t - 0) = 9 t
18 / 9 = 2 segundos

Ahora que ya sabemos en qué instante pasará horizontalmente por la zona del muro y el gato hay que buscar a qué altura se encontrará en el instante t = 2 segundos, utilizando la ecuación horaria de la posición para el movimiento rectilíneo uniformemente variado vertical causado por la fuerza de gravedad. Tengamos en cuenta que el zapato partió de una altura de 2,25 metros desde el piso, por lo que esa es su posición y inicial. La componente vertical de su velocidad inicial es 12 m/s.

y = 2,25 + (12 . 2) - (1/2 . 9,81 . 22)

y = 2,25 + 24 - 19,62 = 6,63 metros

Esto significa que como la cabeza del gato se encuentra a 3 metros de altura desde el piso y cuando el zapato pase por encima del gato se encontrará a 6,63 metros por encima del piso, el zapato pasará a 3,63 metros por encima de la cabeza del gato.
b) Para determinar a qué distancia al otro lado del muro llegó el zapato al piso, hay que buscar primero en qué instante su altura es igual a 0 metros del piso, utilizando la ecuación horaria del movimiento rectilíneo uniformemente variado vertical del zapato. Nuevamente comenzamo teniendo en cuenta que su posición vertical inicial es 2,25 metros de altura y la componente vertical de su velocidad inicial es 12 m/s.

0 m = 2,25 + (12 . t) - (1/2 . 9,81 . t2)

Como lo que tenemos es una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0, para hallar el valor de t utilizamos el conocido método de la fórmula cuadrática.

Metodo de resolucion de la funcion cuadratica

Si reordenamos los términos obtenemos:

-4,905 . t2 + 12 . t + 2 = 0

Donde a = -4,905 ; b = 12 ; c = 2,25

t = {-12 +- [122 - 4 . (-4,905) . 2,25]1/2} / 2 . -4,905

t = [-12 +- (144 + 44,145)1/2] / -9,81

t = (-12 +- 13,72) / -9,81

Tenemos dos posibles resultados:

  • t = (-12 + 13,72) / -9,81 = 1,72 / -9,81 = -0,17
  • t = (-12 - 13,72) / -9,81 = -25,72 / -9,81 = 2,62

Como el tiempo negativo no tiene sentido, nos queda el segundo resultado de t = 2,62 segundos.

Ahora solamente queda saber a qué distancia detrás del muro estará zapato en el instante que toque el piso. Como dicho instante es 2,62 segundos, aplicamos la ecuación horaria de posición para el movimiento rectilíneo uniforme horizontal.

x = 0m + 9m/s(2,62s - 0s) = 23,58m

Y como el muro se encuentra a 18 metros delante de Juan, si restamos 23,58 - 18 obtenemos que el zapato tocará el piso a 5,58 metros pasando el muro.

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