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Conceptos fundamentales de la física


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El propósito principal de este artículo es dejar claro algunos conceptos fundamentales de la física que es necesario entender para poder comprender mejor lo explicado en el Curso de Electrónica, especialmente a partir de la cuarta sección de dicho tutorial, en la que se comienza a hacer mayor uso de estos conceptos fundamentales de la física.

También puede llegar a ser útil para aquellos principiantes que estén buscando algo que explique sintéticamente y de manera sencilla los conceptos básicos de la física, para aplicarlos en otras disciplinas, actividades o simplemente para tener una idea general de qué significa cada término.

Comenzaremos con los principios más sencillos e iremos pasando de a poco hacia aquellos más complejos.

Hay que aclarar que este artículo no sustituye ningún texto formal de física. Simplemente sirve para hacerse una idea básica de los distintos conceptos fundamentales de esta ciencia, aunque también sevirá para entender mejor charlas, textos y documentales que se refieren al funcionamiento de las máquinas, la electricidad, la energía, la naturaleza y el Universo en general.

Este curso también resultará muy útil como introducción a la física para aquellos estudiantes recién ingresados a las carreras de ingeniería y ciencias exactas.

Luego, si el tema de la física resulta interesante y se desea profundizar los conocimientos adquiridos aquí, es necesaria la lectura de algún libro de física (ya sea online o no).
 

Unidades de medida de física

 
Lo primero que hay que tener en cuenta es que en física todo se mide con distintas unidades. Existen diversos sistemas de medición, pero internacionalmente en física se utilizan como unidades estándar oficiales aquellas del SI (Sistema Internacional).

Empecemos por las distancias, que en física siempre se miden en metros y simbolizan con la letra m (minúscula).

Existen prefijos que se anteponen a la palabra metro para denotar una cierta cantidad de metros, por ejemplo:

  • El prefijo kilo (mil) antepuesto a metro, indica que tenemos un kilómetro, o sea 1000 metros.
  • El prefijo centi (centésima) antepuesto a metro, indica que tenemos un centímetro, o sea una centésima parte de metro.
  • El prefijo mili (milésima) antepuesto a metro, indica que tenemos un milímetro, o sea una milésima parte de metro.
  • El prefijo micro (millonésima) antepuesto a metro, indica que tenemos un micrómetro, o sea una millonésima de metro.
  • El prefijo nano (mil millonésima) antepuesto a metro, indica que tenemos un nanómetro, o sea una mil millonésima de metro.
Sin embargo, es bueno tener en cuenta que la medida oficial utilizada en física es el metro, por lo que siempre es bueno pasar las unidades a metros.
 
En el caso de pasar de kilómetros a metros, simplemente hay que agregar tres ceros en el caso de números enteros o mover la coma tres posiciones hacia la derecha en el caso de números decimales:
  • 1,234 kilómetros (o km): equivale a 1234 metros (la coma se corrió tres posiciones hacia la derecha).
  • 2 kilómetros: equivalen a 2000 metros (se agregaron tres ceros).

Para pasar de centímetros a metros hay que mover la coma dos posiciones hacia la izquierda:

  • 100 centímetros (o cm): equivalen a 1 metro (la coma se movió de 100,0 hacia la izquierda dos posiciones a 1,0).
  • 24748 centímetros: equivalen a 247,48 metros (la coma se movió de 24748,0 hacia la izquierda dos posiciones a 247,48).
Para pasar de milímetros a metros hay que mover la coma tres posiciones hacia la izquierda:
  • 1000 milímetros (o mm): equivalen a 1 metro (la coma se movió de 1000,0 hacia la izquierda tres posiciones a 1,0).
  • 48748 milímetros: equivalen a 48,748 metros (la coma se movió de 48748,0 hacia la izquierda tres posiciones a 48,748).

Con las demás unidades de medida que veremos a continuación, el método para pasar de un tipo de magnitud con prefijos kilo, centi, mili, micro o nano, a otra, es el mismo, simplemente hay que correr las comas una cantidad determinada de posiciones acorde al prefijo antepuesto a la unidad. Al final del tutorial se incluyen tablas que indican a cuánto equivale cada prefijo utilizado en unidades de medidas.

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La masa es otro concepto fundamental de la física e indica la cantidad de materia que posee un cuerpo. Para entender mejor este concepto hay que saber que todos los cuerpos del Universo, las estrellas, planetas, casas, automóviles, personas, árboles, etc están compuestos por millones, billones, trillones o incluso más partículas llamadas átomos. A su vez, cada átomo está compuesto por un número determinado de partículas más pequeñas llamadas protones, neutrones y electrones.

Existen unos 118 tipos de átomos cuyas distintas combinaciones componen absolutamente todos los cuerpos del Universo, desde estrellas hasta microbios y moléculas diminutas. Los 118 tipos de átomos se clasifican de acuerdo a la cantidad de protones, neutrones y electrones que poseen. Así, el tipo de átomo más pequeño que existe en el Universo es el del elemento llamado Hidrógeno, compuesto por un protón y un electrón que orbita alrededor del protón ubicado en el centro. Luego le sigue el Helio, que está compuesto por dos protones, dos neutrones y dos electrones que orbitan alrededor de los protones y neutrones, por lo tanto, un átomo de Helio tiene más masa que un átomo de Hidrógeno (por tener mayor cantidad de materia, o sea más protones, neutrones y electrones que un átomo de Hidrógeno). En las imágenes siguientes, los protones se representan con pelotitas rojas y se simbolizan con un signo +, los neutrones son las pelotitas blancas y se simbolizan con una letra N, mientras que los electrones son más pequeños, orbitan alrededor de los protones y neutrones que se ubican en el centro de un átomo y se simbolizan con un signo -.

HidrogenoHelio
Izquierda: Átomo de Hidrógeno. Derecha: Átomo de Helio

Los distintos tipos de átomos se denominan Elementos Químicos y están clasificados en una tabla llamada Tabla Periódica de Elementos, de menor a mayor masa (o sea de menor a mayor cantidad de protones, neutrones y electrones). Por ejemplo, el elemento Carbono se encuentra en el sexto puesto de la tabla periódica (el Carbono es un elemento esencial que forma parte de todos los seres vivos de la Tierra) y está compuesto por seis protones, seis neutrones y seis electrones que orbitan alrededor de los protones y neutrones del centro del átomo. Por lo tanto, un átomo de Carbono tiene más masa que un átomo de Hidrógeno por tener más materia.

Carbono
Átomo de Carbono

Para graficarlo más fácilmente, podemos considerar a los protones, neutrones y electrones como si fueran pelotitas. Entonces, en 1 átomo de Hidrógeno hay 1 pelotita del tipo protón y 1 pelotita del tipo electrón, mientras que en 1 átomo de Carbono hay 12 pelotitas del tipo neutrón y protón, así como 6 pelotitas del tipo electrón. No obstante, 1000 átomos de Hidrógeno tendrán más masa que 10 átomos de Carbono, ya que si consideramos únicamente -para simplificar el cálculo- a los protones y neutrones de cada átomo tenemos:

1000 átomos de Hidrógeno x 1 pelotita del tipo protón en cada átomo = 1000 pelotitas del tipo protón en 1000 átomos de Hidrógeno
 
10 átomos de Carbono x (6 pelotitas del tipo protón en cada átomo + 6 pelotitas del tipo neutrón en cada átomo) = 120 pelotitas del tipo protón y neutrón en 10 átomos de Carbono

Así tenemos que en 1000 átomos de Hidrógeno hay más materia (más masa) que en 10 átomos de Carbono.

En física, la unidad de medida oficial estándar de la masa (cantidad de materia) es el kilogramo, simbolizado como kg. 1 kilogramo equivale a 1000 gramos.

Los átomos son tan diminutos que se necesitan varios trillones de átomos para obtener 1 kilogramo de materia. Y puesto que los protones, neutrones y electrones que componen a los átomos son aún más diminutos, se requieren varios trillones más de estas "pelotitas" para obtener 1 kilogramo de materia.

Por ejemplo, un automóvil que tiene una masa 1000 kilogramos (1000 kg), tiene más materia que una persona de 80 kg. Sin embargo, un avión Boeing 747-8 que tiene una masa de 410.000 kilogramos obviamente tiene mucha más materia que un automóvil de 1000 kilogramos.

Otro ejemplo para finalizar el concepto de masa es que una persona de 60 kg tiene menos materia en su cuerpo (menos masa) que una persona de 100 kg, ya que esta masa de más (materia de más) en la segunda persona puede estar compuesta por más átomos que forman grasas, músculos o huesos. Para decirlo de una manera sencilla, la persona de 100 kg está compuesta por más pelotitas que la de 60 kg.

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El tiempo es otra de las magnitudes fundamentales de la física, y su unidad oficial estándar es el segundo simbolizado como s o sec (por second, que en inglés significa segundo). Todos los fenómenos físicos se miden en base al tiempo transcurrido en segundos. Es bueno saber que en 1 minuto hay 60 segundos (obviamente eso ya lo deben saber) y que en una hora hay 3600 segundos, mientras que en un día hay 86400 segundos (3600 segundos x 24 horas).
 

Qué son los vectores

Una herramienta matemática muy importante que se debe comprender bien para interpretar mejor los temas de física que veremos a continuación, es el de los vectores, de vital utilidad en muchas ramas de las ciencias.

Los vectores representan magnitudes físicas que además de tener valor numérico, tienen una orientación que se denomina dirección y también tienen sentido, que vendría a ser hacia dónde apuntan. Algunas de estas magnitudes físicas que requieren el uso de vectores para ser entendidas incluyen: fuerzas, desplazamiento, velocidad, aceleración, todas ellas además de tener un valor numérico, tienen orientación y sentido. En el caso de la velocidad, además de que se necesita saber su valor o lo que marca el velocímetro, también se debe conocer hacia dónde se dirige. En el caso de una fuerza aplicada sobre un cuerpo, además de su intensidad, es necesario conocer la dirección en que ésta actúa.

Por otra parte, magnitudes físicas como la masa (cantidad de materia que tiene un cuerpo) o el tiempo, no dependen de su orientación o hacia dónde apuntan, solamente importa su valor, si es mayor o menor.

Los vectores se representan geométricamente mediante flechas, cuya longitud (también denominada módulo) indica el valor del vector y por ende de la magnitud física representada, la dirección indica su orientación o trayectoria recta por donde pasa y el sentido hacia dónde apunta o se dirige la magnitud física en cuestión. Por ejemplo, para la velocidad, la longitud de la flecha (vector) representa el valor que marca el velocímetro, la dirección es representada por la línea recta de la flecha y el sentido se representa con la punta triangular de la flecha.

Que son los vectores

En la imagen se muestra un vector que se encuentra entre los puntos A y B, por eso los vectores se suelen simbolizar con dos letras que representan sus puntos de origen y finales con una pequeña flecha arriba de ambas, como se indica en la imagen de arriba. Su dirección está marcada por la recta roja por la que pasa la flecha del vector. Su sentido (o sea hacia dónde se dirige o apunta el vector) es indicado por la punta de la flecha y su valor o magnitud, por la longitud de la flecha que representa al vector, su longitud también se denomina módulo.

Así como con las magnitudes escalares (magnitudes únicamente numéricas), con los vectores también se pueden realizar distintos cálculos. Vamos a comenzar estudiando la suma de vectores:

Para sumar vectores, hay que tomar a cada uno de los vectores que participan de la operación en cuestión y colocar el extremo de origen de cada uno (salvo del primer vector de la suma) en la misma posición del extremo final del vector anterior. En otras palabras, hay que hacer coincidir el extremo de origen del segundo vector de la suma con el extremo final del primer vector, el extremo de origen del tercer vector con el extremo final del segundo vector, y así con los demás. Una vez colocados todos los vectores en sus posiciones de suma, se deben unir el extremo de origen del primer vector con el extremo final del último vector, y así el vector que se forme de esta unión, será el resultado de la suma vectorial. Veamos un ejemplo:

Suma de vectores

En la imagen de arriba hay tres vectores llamados u, v y w, que colocados de la manera que se indica en el párrafo anterior, se suman dando como resultado un nuevo vector u + v + w.

Para realizar la resta de dos vectores u y v (resta simbolizada como u - v) siplemente hay que sumarle al primer vector u, el opuesto del vector v (que vendría a ser un vector con la misma dirección, o sea misma trayectoria recta pero sentido opuesto, que significa que apunta hacia el lado opuesto). Veamos un ejemplo:

Como restar vectores

 

En la imagen de arriba para restar u - v, primero hay que cambiar el sentido del vector v a su opuesto (vector con sentido contrario), que vendría a ser -v y luego sumarlo a u.

También se pueden multiplicar vectores por escalares (los escalares, a diferencia de los vectores, son magnitudes que tienen solamente un valor numérico, como la masa o el tiempo). Por ejemplo, para multiplicar un vector u con longitud o módulo de 10 (la unidad no importa, supongamos que en este caso son 10 centímetros) por 2 obtendríamos un vector con misma dirección y sentido pero el doble de longitud. Para multiplicar un vector v de módulo o longitud de 2 centímetros y lo multiplicamos por 14, obtendremos un vector de la misma dirección y sentido pero longitud de 28 centimetros. Si se multiplica un vector por un escalar negativo, sucede lo mismo que en los casos anteriores, con la única diferencia que su sentido cambia, o sea que la punta de la flecha del vector producto de la multiplicación apuntará para el lado opuesto. Veamos unos ejemplos:

Producto escalar de vectores

En la imagen se multiplica una vector u por 3, luego otro vector v por 2 y por último el vector v por -3.

Los vectores pueden representarse como flechas en planos bidimensionales (dos dimensiones) o en espacios tridimensionales (tres dimensiones), según la necesidad, utilizando coordenadas cartesianas. Aprovechando el hecho de que un vector puede obtenerse sumando otros vectores colocados de la manera ya explicada -uno delante del otro-, podemos representar cualquier vector como formado por otros dos vectores (en el caso de ser un vector en el plano bidimensional) o por otros tres vectores (en el caso de ser un vector en el espacio tridimensional).

En el caso de los vectores bidimensionales, están formados por la suma de dos vectores cuyas direcciones coinciden con las de los ejes x, y de una tabla cartesiana. En el caso de los vectores tridimensionales, están formados por la suma de tres vectores cuyas direcciones coinciden con las de los ejes x, y, z.

Supongamos que tenemos un vector vx sobre el eje x, y otro vector vy sobre el eje y; si proyectamos al vector vy con uno paralelo a sí mismo, y colocamos su extremo inicial justo en el extremo final del vector vx, podemos sumarlos y obtener el vector v. Lo práctico de este sistema para representar vectores, es que si queremos conocer la longitud del vector v, siplemente hay que aplicar el teorema de Pitágoras, en el que los catetos vendrían a ser los vectores vx y vy, mientras que la hipotenusa vendría a ser el vector v cuya longitud queremos averiguar. En la imagen de abajo se muestra bien el ejemplo gráficamente, además de la fórmula del teorema de Pitágoras aplicado para dicho ejemplo.

Para un vector en el espacio tridimensional es lo mismo, solamente que hay que agregar un tercer vector a la operación. En el ejemplo de la misma imagen de abajo que corresponde a un vector tridimensional w, los vectores que lo forman sumados son wx, wy, y wz. Y para obtener su módulo o longitud también aplicamos el teorema de Pitágoras, solamente que esta vez agregamos un tercer vector a la fórmula.

Coordenadas cartesianas de vectores
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Qué es la velocidad y la aceleración

La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de las cosas, sin importar la fuente de origen de dichos movimientos (o sea las fuerzas que las causan), limitándose a estudiar las trayectorias de los cuerpos en función del tiempo.

Ante todo, para entender el concepto de velocidad hay que comprender bien qué significan los conceptos de desplazamiento y distancia recorrida.

En el caso del desplazamiento, es una magnitud vectorial (como ya se explicó bien en la sección anterior, un vector es una magnitud con módulo o longitud, dirección y sentido, y se representa con una flecha) que indica el cambio de posición de un cuerpo en relación a su punto inicial y su punto final, sin importar el camino recorrido, solamente importan el cambio de posición o diferencia que hay entre estos dos puntos. Por otro lado, la distancia recorrida es una magnitud escalar (o sea que solamente importa su valor) y nos indica la cantidad de metros que el cuerpo recorrió o se movió, teniendo en cuenta toda la trayectoria recorrida sin importar la distancia entre el punto inicial y el punto final. Ahora supongamos que el cuerpo arranca en un punto inicial x, recorre una distancia de 200 metros en trayectoria irregular y regresa al mismo punto desde donde inició su movimiento, el desplazamiento será de 0 metros, sin embargo la distancia total recorrida será de 200 metros.

Diferencia entre desplazamiento y distancia
El desplazamiento o diferencia entre las posiciones A y B se representa con una línea recta de color negro, mientras que la distancia total recorrida para ir del punto A al punto B en una trayectoria irregular se representa con color rojo

Por ejemplo:

Si un automóvil va de la posición x1 a la posición x2, su desplazamiento tiene un valor de x2 - x1. Supongamos que tomamos como punto inicial de distancias un árbol, si un automóvil arranca a 100 metros hacia la derecha del árbol y se detiene a 200 metros a la derecha del árbol, su desplazamiento será de 200 m - 100 m = 100 metros hacia la derecha.

Veamos otro ejemplo tomando siempre como punto de inicio el mismo árbol:

Si el automóvil arranca a 150 metros a la derecha del árbol y finaliza su recorrido a 42 metros a la derecha del árbol, su desplazamiento será de: 42 m - 150 m = -108 metros, o sea que se desplazó 108 metros hacia la izquierda (nos damos cuenta que es hacia la izquierda porque da como resultado un número negativo).

Que es el desplazamiento
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El desplazamiento se simboliza con la letra Δ (delta) antepuesta a la letra x (que representa al desplazamiento en el eje x u horizontal): Δx (la Δ es el símbolo que representa a la palabra diferencia, ya que debemos obtener una diferencia entre los dos valores que se restan).

Para el desplazamiento en el eje vertical o eje y, hay que hacer exactamente lo mismo, con la única diferencia que en lugar de utilizar la letra x se utiliza la letra y, por lo que obtendríamos: Δy para el desplazamiento en el eje y.

Si tomamos un desplazamiento bidimensional (en los ejes x e y) o tridimensional (en los ejes x, y, z), podemos simbolizar a la recta del desplazamiento como Δr utilizándose la letra r para indicar que se trata de una recta, y representado como un vector resultado de la suma de sus desplazamientos Δx y Δy en los ejes x,y.

Desplazamiento en movimiento bidimensional

Pero cuál sería el desplazamiento si el automóvil parte de 100 metros a la derecha del árbol, se dirige 200 metros hacia la derecha y luego otros 300 metros hacia la izquierda hasta llegar al árbol; y por último moverse 100 metros hacia la derecha: Su desplazamiento total sería de 0 metros, ya que su punto inicial sería 100 metros a la derecha del árbol y su punto final también sería 100 metros hacia la derecha del árbol, dando un total de 100 m - 100 m = 0 metros de desplazamiento.

Pero definitivamente el automóvil se movió en este último ejemplo y recorrió 200 metros hacia la derecha, luego 300 metros hacia la izquierda y por último otros 100 metros hacia la derecha, o sea que hubo movimiento y un recorrido de 200 m + 300 m + 100 = 600 metros recorridos. Pero cómo puede ser que si el automóvil se movió 600 metros digamos que el desplazamiento sea de 0 metros. Sencillo, eso es lo que diferencia al desplazamiento de la distancia recorrida; ya que distancia es todo lo que el cuerpo se ha movido, que en este caso son 600 metros, y desplazamiento indica cuál fue su cambio de posición total o neto en relación a su posición inicial y final, que en este caso fue de 0 metros ya que comienza y termina su recorrido en el mismo punto.

En la imagen de abajo se puede ver que la distancia recorrida es igual a |x2 - x1| + |x3 - x2| + |x4 - x3|. Las barras verticales alrededor de cada término sumado, simbolizan que lo que tomamos es el valor absoluto, esto significa que solamente nos interesa el valor numérico o cantidad, sin importar el signo negativo o positivo de cada término. Por ejemplo, en el caso de x3 - x2 = -300, si se encuentra entre barras verticales que indican que nos interesa su valor absoluto |x3 - x2| = 300, que es el total de metros que se movió entre esos dos puntos, nos quedamos solamente con el valor numérico 300. Si sumamos los tres términos, obtenemos el total de metros de distancia recorrida en la trayectoria entre x1 y x4, que en estre caso se encuentran en la misma posición:

Desplazamiento y distancia recorida
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Por lo tanto, desplazamiento es cambio de posición del cuerpo sin importar la trayectoria seguida, mientras que distancia recorrida es todo lo que se movió, teniendo en cuenta toda su trayectoria.
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Ahora sí, ya podemos pasar al tema de la velocidad:

La velocidad es una magnitud vectorial que indica el desplazamiento de un cuerpo por unidad de tiempo, o sea los metros que se mueve en relación a su posición inicial por cada segundo que pasa. También se puede definir como la tasa de cambio de posición por unidad de tiempo.

Se representa con la letra v y su fórmula es: Δr / Δt,lo que equivale a desplazamiento dividido la cantidad de tiempo que pasó para realizar dicho desplazamiento. Las unidades que se utilizan en física son metros / segundos (metros sobre segundos o metros por segundo).

Entonces si un automóvil realiza un cambio de posición de 200 metros hacia la derecha en 10 segundos, simplemente hay que dividir 200 m / 10 segundos = 20 metros por segundo, su velocidad es de 20 m/s.

Sin embargo, si el cuerpo en movimiento va cambiando de velocidad a lo largo del camino, con esa fórmula no podremos saber su velocidad en cada instante, simplemente sabremos su velocidad media.

Para conocer su velocidad instantánea en cada instante hay que conocer el concepto matemático de límite. Para explicarlo de una manera sencilla y sintética vendría a ser algo así: tenemos que tomar intervalos de tiempo Δt lo más pequeños posible, de hecho tendiendo a 0 segundos o lo más cercanos posible a 0 segundos y entonces dividir el desplazamiento ocurrido en ese pequeñísimo instante. La fórmula de la velocidad instantánea es: dr / dt, y para conocerla es necesario conocer mejor el concepto matemático de límites y derivadas. Simplemente, hay que entender que se trata de desplazamientos ocurridos en intervalos de tiempo infinitesimalmente pequeños.

Si bien el tema de límites y derivadas escapa al objetivo principal de este artículo, a continuación se dará una breve y sencilla explicación de estos conceptos matemáticos, para poder entender mejor cómo se obtiene la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento.

Lo primero que hay que saber es que el desplazamiento en función del tiempo transcurrido (velocidad) puede ser representado en un gráfico como el siguiente:

Velocidad media y velocidad instantanea
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En la imagen se ve un triángulo de lados a, b, c. En geometría analítica, para conocer el gradiente, inclinación o pendiente (significan lo mismo) de una línea que denominaremos c, se puede dibujar un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo recto o de 90°) con dos líneas a y b, que parten de cada uno de los dos extremos de la línea c cuya pendiente nos interesa conocer y que se cruzan formando un ángulo de 90° entre sí y por lo tanto un triángulo rectángulo formado por las tres líneas a, b, c. Supongamos que el lado vertical del triángulo es a y el lado horizontal b. Para obtener la pendiente o nivel de inclinación del lado c hay que dividir a / b (a dividido b). Si el triángulo tiene dos lados a y b de igual longitud, su lado inclinado tendrá una pendiente igual a 1 (correspondiente a un ángulo de 45°), si el lado a mide 10 cm y su lado b mide 5 cm, su pendiente es de 2 (equivalente a un ángulo de 63,43°). Cuanto mayor sea el lado a (lado opuesto al ángulo que varía) menor será el lado b (lado adyacente al ángulo que varía) y por ende mayor la inclinación. Si el lado b tiene una longitud 0, no se podrá realizar la división, ya que las divisiones entre 0 tienden a infinito, por lo tanto no se pueden definir ni realizar. Pero también nos damos cuenta que cuanto mayor es el lado a y menor el lado b, mayor será la inclinación y tenderá a infinito. Si por el contrario, el lado a tiene una longitud 0 y el lado b una longitud cualquiera, la división sí se puede realizar (recordemos que lo importante es que el denominador o parte de abajo de la fracción no sea 0 para poder dividir dos números), y el resultado será 0, lo cual significa que cuando tenemos una pendiente 0 no hay inclinación en el lado c.

Como nota adicional, el gradiente equivale al elemento trigonométrico llamado tangente, y que con una calculadora podemos averiguar a qué ángulo corresponde. Así 0 es la tangente de ; 0,577 es la tangente de 30°; 1 es la tangente de 45°; 1,732 es la tangente de 60°; 2 es la tangente de 63,43°; 3,732 es la tangente de 75°; 7,1154 es la tangente de 82°; 14,3006 es la tangente de 86°; 28,6362 es la tangente de 88°; 57,290 es la tangente de 89°; 114,5886 es la tangente de 89,5° y si seguimos acercándonos a 90° veremos que la tangente (o gradiente) aumenta cada vez más. Esto significa que cuanto más tiende a 0 la longitud del lado b del triángulo, más tiende a infinito la gradiente del lado c. Repetimos, el ángulo correspondiente a cada gradiente que obtenemos de dividir a / b, se puede averiguar con la función tan (tangente) de cualquier calculadora científica. Si no se tiene una calculadora científica, se puede utilizar la calculadora del sistema operativo de la computadora (por ejemplo Windows), ya que incluye el modo de calculadora científica.

Aprovechando este concepto geométrico, como se muestra en la imagen anterior, podemos representar en un gráfico el desplazamiento ocurrido en función del tiempo transcurrido, colocando los metros de desplazamiento en el eje y y los segundos transcurridos en el eje x.

Para conocer la velocidad media entre 0 y 12 segundos, hay que dividir el desplazamiento completo ocurrido (200 metros en este caso) entre el tiempo transcurrido para que ocurra dicho desplazamiento por completo (12 segundos en este ejemplo). Lo cual nos da: 200 m / 12 s = 16,67 m/s de velocidad media en esos 12 segundos. Entonces, la velocidad media equivale a la gradiente de una línea recta hipotenusa de un triángulo con lado cateto vertical (opuesto) representando al desplazamiento y lado cateto horizontal (adyacente) representando al tiempo transcurrido.

Sin embargo, en el gráfico se puede ver que a lo largo del desplazamiento total, la velocidad varía con el tiempo, ya que las pendientes varían según los intervalos de tiempo, por lo que llegamos a la conclusión que las velocidades instantáneas (en determinados instantes del tiempo transcurrido) no coinciden con la velocidad media. Para conocer estas velocidades instantáneas hay que tomar intervalos de tiempo más pequeños.

  • Primero vemos que durante los primeros 4 segundos, el desplazamiento es de 100 metros (la mitad del desplazamiento total ocurrido en 12 segundos), por lo que si dividimos 100 m / 4 s, obtenemos una velocidad media para el intervalo de tiempo 0s-4s de 25 m/s.
  • Luego en el intervalo 4s-8s, vemos que no varía el desplazamiento, por lo tanto si dividimos 0 m / 4 s, obtenemos una velocidad de 0 m/s (pendiente 0). El automóvil se mantuvo detenido durante esos cuatro segundos, definitivamente eso no coincide con la velocidad media de 16,67 m/s obtenida para todo el intervalo de 12 segundos.
  • Luego en el segundo 8 arranca repentinamente y en 1 segundo se desplaza 66 metros (desde los 100 metros a los 166), si dividimos 66 m / 1 s, ¡obtenemos una velocidad de 66 m/s!
  • Por último baja la intensidad de la velocidad, ya que en el intervalo de tres segundos 9s-12s, se desplaza 37 metros, si dividimos eso nos da una velocidad de 11,33 m/s.

Por lo tanto, la velocidad media de un intervalo de tiempo grande nos da una idea general del desplazamiento de un cuerpo en función del tiempo, pero cuanto más pequeño sea el intervalo de tiempo que tomamos, podremos conocer la velocidad media de dicho intervalo, acercándonos así a la velocidad instantánea, o sea a la velocidad real de un instante determinado. En el ejemplo anterior la velocidad no varía entre los 0 y 4 segundos, ya que el gradiente siempre es el mismo en ese intervalo de tiempo, por lo tanto la velocidad instantánea en cualquiera de esos 4 segundos siempre es la misma, de 25 m/s. Lo mismo ocurre entre los 4 y 8 segundos, en los que el gradiente es 0, por lo tanto su velocidad es de 0 m/s en cualquier instante de ese intervalo. En el intervalo de 1 segundo 8s-9s, la velocidad instantánea en cualquier instante de ese pequeño intervalo de tiempo siempre es de 66 m/s. Por último, durante el intervalo de tres segundos 9s-12s, la velocidad instantánea en cualquier momento de ese intervalo es de 11,33 m/s.

El gráfico del ejemplo anterior es lo que en matemática se denomina función. Una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda magnitud y una determinada fórmula o ecuación que los vincula. Por ejemplo, en el caso anterior, el desplazamiento ocurrido se da en función del tiempo transcurrido y una fórmula del tipo velocidad . segundos = metros (v . s = mts). La magnitud dependiente de la otra se coloca en el eje vertical (en este caso la posición en metros), mientras que la magnitud independiente (en este caso los segundos) se coloca en el eje horizontal.

En matemática, la función se simboliza de la siguiente manera: f(x) lo cual significa valor de la función en base a un valor de x. Esto significa que el valor de f(x) dependerá del valor de x. Ambos estarán vinculados a través de una fórmula o ecuación. En el ejemplo anterior f(x) es la posición en metros y x el valor en segundos. f(x) se vincula a x a través de una fórmula, que en el caso anterior es f(x) = v . x (donde x es el valor del tiempo en segundos, y v el valor de la velocidad por la que hay que multiplicar al tiempo. Este caso particular también se puede escribir así f(t) = v . t (la posición f(t) es un valor en función del valor en segundos del tiempo t multiplicado por la velocidad v).

Para cada x solamente puede corresponder un y solo un f(x). Mientras que para cada f(x) puede corresponder más de un x. Un ejemplo claro de ello es el del caso anterior, en el que a cada instante del tiempo del eje x le corresponde una y solamente una posición del eje y. Sin embargo, a la posición 100 metros le corresponden todos los instantes que se encuentran entre los segundos 4 y 8 del eje temporal.

Hay distintos tipos de funciones, dependiendo de la fórmula que vincula a x con f(x):

Tipos de funciones matematicas
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  • Las funciones en las que la fórmula que conecta x con f(x), es un número constante (un número que nunca cambia) el valor de f(x) siempre será el mismo para cada x, dando como resultado una gráfica de línea horizontal. Dichas funciones se denominan constantes. Por ejemplo, f(x) = a (donde a es un valor constante).
  • Las funciones en las que la fórmula es f(x) = a . x (donde a es un valor constante por el que se multiplica cada valor de x), se denominan lineales, porque las gráfica resultante en este tipo de funciones siempre es una línea recta con un deteminado gradiente o inclinación, que es igual al valor constante de a. En el ejemplo anterior, la velocidad es un valor constante por el que se multiplica cada instante temporal y es equivalente al gradiente de la línea: posición = v . t (posición en metros es igual al valor de velocidad multiplicado por el tiempo en segundos). Y si hacemos posición / t = v (posición dividido el instante temporal es igual a velocidad o gradiente de la línea recta de la gráfica).
  • Las funciones con la fórmula f(x) = x2 (en las que el valor de f(x) del eje y es igual a x elevado al cuadrado), se denominan cuadráticas y dan como resultado un gráfico llamado parábola, que se puede observar en la imagen anterior. Por ejemplo cuando x = 1 f(x) = 1, x = 2 f(x) = 4, x = 3 f(x) = 9, x = 4 f(x) = 16, x = 5 f(x) = 25, etc. Para los números negativos los resultados f(x) son iguales que para los números positivos con mismo valor absoluto, ya que multiplicar dos números negativos siempre dan como resultado valores positivos. Por ejemplo, para x = -1, f(x) = 1, ya que -1 x -1 = 1. Para x = -2, f(x) = 4, ya que -2 x -2 = 4. Como se puede notar, los f(x) para x negativos son los mismos que para los x positivos con igual valor absoluto.
  • Las funciones con la fórmula f(x) = x3 (en las que el valor de f(x) del eje y es igual a x elevado al cubo), se denominan funciones cúbicas y dan como resultado un gráfico con curvas como la de la imagen anterior. Por ejemplo cuando x = 1 f(x) = 1, x = 2 f(x) = 8, x = 3 f(x) = 27, x = 4 f(x) = 64, x = 5 f(x) = 125, etc. Y para números negativos es lo mismo con la diferencia que son los mismo valores absolutos pero negativos -1, -8, -27, -64, -125, etc, ya que multiplicar tres números negativos siempre nos da como resultado un número negativo.
  • Las funciones con la fórmula f(x) = 1/x (en las que el valor de f(x) del eje y es igual a 1 dividido el valor de x), se denominan funciones inversas y dan como resultado un gráfico que se denomina hipérbola y que se puede ver en la imagen anterior. Por ejemplo, para x = 1 f(x) = 1, x = 2 f(x) = 1/2, x = 3 f(x) = 1/3, x = 4 f(x) = 1/4, x = 5 f(x) = 1/5.

Los tipos de gráficos que se pueden obtener en las funciones son literalmente infinitos y dependen de la fórmula, pero los que se mencionaron son algunos de los más conocidos o utilizados en física introductoria. Por el momento, con este tipo de funciones mencionadas alcanza para los objetivos de este artículo introductorio y comprender de manera fácil los conceptos fundamentales de la física.

Ya vimos cómo obtener la velocidad instantánea en casos en que la posición del cuerpo en movimiento se da en función de una fórmula lineal directamente proporcional al tiempo transcurrido. Su gradiente (velocidad) en cualquier instante de un intervalo temporal se obtiene directamente dividiendo el desplazamiento ocurrido entre una cierta cantidad de segundos transcurridos. En estos casos, la velocidad siempre es la misma en cualquier instante de un determinado intervalo de tiempo.

Pero si tenemos una gráfica de velocidad no lineal, o sea que la tasa de cambio de posición en función del tiempo varía de una manera no lineal, dando como resultado una curva bastante irregular, lo que debemos hacer es ir tomando intervalos cada vez más pequeños y averiguar la velocidad media de esos intervalos cada vez más pequeños, que tienden a 0, en otras palabras, intervalos temporales que cada vez se acercan más a 0 segundos de duración. De esa manera, nos vamos acercando cada vez más a la velocidad instantánea en el momento que nos interesa. Veamos un ejemplo en el que deseamos conocer la velocidad instantánea exactamente en el segundo 4. Este ejemplo queda además graficado en la imagen siguiente, ubicada unos párrafos más abajo (es conveniente cliquearla para verla más grande y nítidamente).

  • Primero buscamos la velocidad media en el intervalo temporal 0s - 5s en el que el cambio de posición es entre 8 y 28 metros. (28m - 8m) / 5s = 4 m/s
  • Luego achicamos un poco el intervalo entre 1s y 4,5 s en el que el cambio de posición es entre 12 y 18 metros. (18m - 12m) / 3,5s = 1,714 m/s
  • Luego pasamos a un intervalo aún más pequeño entre 2s y 4,5 s en el que el cambio de posición es entre 10 y 18 metros. (18m - 10m) / 2,5s = 3,2 m/s
  • Y seguimos achicando: (18m - 8m) / 1,5s = 6,67 m/s ; (18m - 8,5m) / 1s = 9,5 m/s ; (15m - 10m) / 0,4s = 12,5 m/s ; (14m - 11m) / 0,4s = 7,5 m/s ; (13m - 12m) / 0,25s = 4 m/s ; (13m - 12,55m) / 0,1s = 4,5 m/s ; (12,4999m - 12,45m) / 0,01s = 4,99 m/s ; (12,494999m - 12,49m) / 0,001 = 4,999 m/s

Como se puede ver, cuanto más pequeño el intervalo de tiempo (cuanto más tiende a 0 Δt) el resultado de la velocidad más se acerca a 5 m/s (primero 4,5 m/s, luego 4,99 m/s, luego 4,999 m/s) por lo que llegamos a la conclusión que en este caso, el límite de Δr/Δt, con Δt tendiendo a 0, es igual a 5 m/s, lo que significa que la velocidad instantánea en el segundo 4 es de 5 m/s. Y ese límite se escribe con la fórmula que se muestra reiteradamente en la imagen de abajo en cada etapa de achicamiento del intervalo temporal Δt.

Concepto de limite de una funcion
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La velocidad instantánea en el segundo 4, es una línea tangente a la gráfica cuya inclinación coincide con dicha velocidad. A esa línea tangente en matemática se la denomina derivada de una función en un punto dado, y muestra la tasa de cambio o la rapidez con que cambian los valores de la función en ese determinado punto. Si la función es lineal, la tasa de cambio de valores es siempre la misma (por ejemplo, la tasa de cambio de posición en la función f(t) = v . t, con velocidad constante, es la velocidad v, ya que posición / t siempre da el mismo valor v) y su inclinación coincide con la gráfica. Pero si se trata de una función con una fórmula más compleja, dando una gráfica más irregular con curvas, la tasa de cambio de la gráfica también varía, por lo que la inclinación de la línea tangente en cada instante es distinta.

Vamos a tomar una función conocida como la cuadrática e intentaremos encontrar una fórmula para obtener la derivada (inclinación de la línea tangente o tasa de cambio de la gráfica en cualquier punto de la misma) de dicha función, de una manera más sencilla sin tener que ir haciendo todo ese tedioso proceso de achicar el intervalo del eje x con límite tendiendo a 0.

Derivada de la funcion cuadratica
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La función cuadrática es f(x) = x2, por lo que cuando: x = 1 f(x) = 1 ; x = 2 f(x) = 4 ; x = 3 f(x) = 9 ; x = 4 f(x) = 16 ; x = 5 f(x) = 25 ; etc.

Supongamos que queremos conocer la inclinación de la línea tangente (derivada) en x = 1,7. Tenemos que dividir f(x2) - f(x1) / x2 - x1 para encontrar la tasa de cambio media o inclinación media de intervalos cada vez más pequeños (como si se tratasen de funciones lineales), acercándonos al punto cuyo gradiente queremos conocer:

  • Primero tomamos el intervalo del eje x entre 1 y 2, y buscamos la tasa de cambio media (con el método que ya conocemos como si se tratase de una función lineal) para ese intervalo haciendo (22-12) / 2 - 1 = 3.
  • Luego acortamos el intervalo del eje x entre 1,5 y 2: (22 - 1,52) / 2 - 1,5 = 3,5
  • Y si seguimos con un intervalo en el eje x entre 1,6 y 1,8: (1,82 - 1,62) / 1,8 - 1,6 = 3,4
  • Y aún más pequeño en el intervalo entre 1,69 y 1,71: (1,712 - 1,692) / 1,71 - 1,69 = 3,4
  • Y mucho más pequeño en el intervalo entre 1,699 y 1,701: (1,7012 - 1,6992) / 1,701 - 1,699 = 3,4

Por más que sigamos la derivada en el punto de x= 1,7 va a seguir tendiendo a 3,4. Por lo tanto llegamos a la conclusión que la inclinación de la línea tangente en ese punto es 3,4.

Una particularidad de ese número es que 3,4 es igual a 2 . 1,7 o lo que sería utilizando variables algebraicas 2x.

Las derivadas de una función f(x) se simbolizan f'(x). Por lo tanto la derivada de la función f(x) = x2 siempre es f'(x) = 2x.

Analicemos ahora la función cúbica f(x) = x3 donde si: x = 1 f(x) = 1 ; x = 2 f(x) = 8 ; x = 3 f(x) = 27 ; x = 4 f(x) = 64 ; x = 5 f(x) = 125 ; etc.

Derivada de una funcion cubica
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Ahora busquemos la derivada de la función f(x) = x3 en x = 2,4 achicando el intervalo en el eje x como hicimos en la función cuadrática.

  • Primero tomamos el intervalo del eje x entre 2 y 3, y buscamos la tasa de cambio media (con el método que ya conocemos como si se tratase de una función lineal) para ese intervalo haciendo (33-23) / 3 - 2 = 19.
  • Luego acortamos el intervalo del eje x entre 2 y 2,5: (2,53 - 23) / 2,5 - 2 = 15,25
  • Y si seguimos con un intervalo en el eje x entre 2,3 y 2,5: (2,53 - 2,33) / 2,5 - 2,3 = 17,29
  • Y aún más pequeño en el intervalo entre 2,39 y 2,41: (2,413 - 2,393) / 2,41 - 2,39 = 17,2801
  • Y mucho más pequeño en el intervalo entre 2,399 y 2,401: (2,4013 - 2,3993) / 2,401 - 2,399 = 17,280001

Y si seguimos haciendo que el intervalo en el eje x tienda a 0, la derivada en x= 2,4 para f(x) = x3 tiende cada vez más hacia el límite de 17,28. Por lo tanto la derivada o gradiente de la línea tangente a la gráfica para x = 2,4 es 17,28.

Si nos fijamos bien en el valor obtenido, nos daremos cuenta que 17,28 es igual a 3 . 2,42, y si lo generalizamos para todos los valores de la función, tomaría la siguiente forma: para f(x) = x3 sus derivadas f'(x) = 3x2.

Si chequeamos bien la fórmula para obtener derivadas en la función cuadrática f(x) = x2 , como ya vimos es f'(x) = 2x; y en el caso de la función cúbica f(x) = x3, su derivada f'(x) = 3x2.

En ambos casos podemos notar que: 2x = 2x1 = 2x2-1 y que 3x2 = 3x3-1. Incluso en la función lineal f(x) = a . x (donde a es un número constante), si aplicamos lo mismo para encontrar el gradiente para un x dado, encontramos que:
como a . x = a . x1, su derivada o gradiente f'(x) = a es lo mismo que 1a . x1-1 = 1 . a . x0 = 1 . a . 1 = a. (recordemos que todo número elevado a la 0 da como resultado 1).

De todo esto llegamos a la conclusión que para cualquier función f(x) con fórmulas de números x elevados a cierta potencia n (incluyendo n = 1), f'(x) = nxn-1.

Entonces, así podemos conocer la tasa de cambio de cualquier función para cualquier punto x. Si lo trasladamos a la función de cambio de posición en función del tiempo, podremos conocer la tasa de cambio de posiciones (velocidades) para cada instante t (lo que serían velocidades instantáneas) utilizando esta técnica de averiguación de derivadas.

Por ejemplo, si la fórmula de posiciones en función del tiempo es igual t4 su velocidad instantánea en cualquier instante t es: 4t4-1 = 4t3, ya que el 4 de la potencia pasa a multiplicar a t y a dicha potencia se le resta 1 para quedar en 3.

Si la fórmula es un poco más compleja, por ejemplo la posición en función a t : f(t) = 4 + 2t3, buscamos la derivada de cada término de la suma:

  • 4
  • 2t3

Para funciones constantes la derivada siempre es 0 porque su gradiente es 0 (como ya vimos, la gráfica es horizontal y no tiene inclinación). Por lo tanto la derivada para el término 4 es 0.

Para el término 2t3, del método aprendido antes obtenemos que la derivada es 2 . (3t3-1) = 2 . (3t2) = 6t2

Si combinamos las derivadas de ambos términos obtenemos que la derivada de f(t) = 4 + 2t3 , f'(t) = 0 + 6t2 = 6t2

Por lo tanto, la velocidad instantánea para cualquier instante t en dicha función es 6t2.

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También existe otro concepto de cinemática que hay que tener en cuenta y es aquel de rapidez, que muchas veces es confundido con la velocidad. Si bien es casi lo mismo, hay una pequeña diferencia.
 
La rapidez, a diferencia de la velocidad en lugar de medir el desplazamiento o cambio de posición por unidad de tiempo, mide la distancia total recorrida en una trayectoria por unidad de tiempo. Esto es la cantidad de metros de distancia que se recorren por segundo en una trayectoria total. Lo que marca la diferencia entre velocidad y rapidez es que en lugar de tomarse el desplazamiento se toma la distancia total recorrida. La rapidez, como no depende de las posiciones y el desplazamiento, sino solamente del total de distancia recorrida, no es una magnitud vectorial, ya que es una magnitud escalar (o sea que lo único que se tiene en cuenta es su valor acumulado y no su dirección o sentido de trayectoria).

Su fórmula es: Δs / Δt. Por ejemplo, si un automóvil recorrió 1000 metros en 60 segundos, hay que dividir, 1000 m / 60 s = 16,67 m/s, o sea que recorre 16,67 metros por cada segundo.

Como en el caso de la velocidad media, esta es la rapidez media. Para obtener la rapidez instantánea en cada instante del recorrido, o lo que vendrían a ser intervalos de tiempo infinitesimalmente pequeños, hay que aplicar matemáticas un poco más avanzadas, utilizando límites y derivadas, como las que ya vimos anteriormente. La fórmula de la rapidez instantánea es ds / dt.

Veamos un ejemplo: Un automóvil se dirige de un punto A a un punto B, los cuales se encuentran a 2 kilómetros entre sí, sobre el eje y en dirección sur-norte. Sin embargo como hay mucho tráfico en la ruta directa, el automóvil se desvía y realiza una trayectoria más larga pero que por lo menos le va a hacer evitar el embotellamiento. Primero realizará 1 kilómetro hacia el este (hacia la derecha en el eje x), luego 2 kilómetros hacia el norte (hacia arriba en el gráfico) y por útlimo 1 kilómetro hacia el oeste (hacia la izquierda). Para todo este viaje tarda exactamente 3 minutos.

Lo primero que hay que hacer es pasar las medidas mencionadas a las unidades oficiales o estándares de la física, que son el metro para la distancia y el segundo para el tiempo.

2 kilómetros = 2000 metros.
1 kilómetro = 1000 metros.
3 minutos = 180 segundos.

Por lo tanto, primero averiguaremos la velocidad media del automóvil:

Como la ciudad B se encuentra exactamente a 2000 metros hacia el norte de la ciudad A, el desplazamiento será de 2000 metros y el tiempo que tardará en llegar de una a la otra será de 180 segundos, por lo que su velocidad media será de: 2000 metros / 180 segundos = 11,11 m/s.

En cuanto a la rapidez media, como la trayectoria tomada es de 1000 metros hacia el este + 2000 metros hacia el norte + 1000 metros hacia el oeste, tendremos una distancia total recorrida de 4000 metros. Por lo tanto su rapidez media será de 4000 metros / 180 segundos = 22,22 m/s.

Diferencia entre velocidad y rapidez en fisica

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Veamos a continuación otro concepto fundamental de la cinemática y la física en general, la aceleración.

Qué sucede si la velocidad varía durante el camino, o sea que la velocidad no permanece siempre igual, la respuesta es simple, el automóvil aceleraría o desaceleraría su movimiento, o sea que cambiaría de velocidad viajando a veces de manera más veloz y otras veces más despacio. La aceleración indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo, lo que vendría a ser la tasa de variación de velocidad por segundo.

Cuando la velocidad varía, hay aceleración (positiva si aumenta la velocidad o negativa si baja la velocidad), y la fuente de la aceleración siempre es una fuerza que actúa sobre el cuerpo. Si no hubiese ninguna fuerza actuando sobre el mismo, su velocidad sería siempre la misma.

Si se lanzara un cuerpo en el espacio vacío universal y no hay ninguna fuerza actuando sobre el cuerpo lanzado, su velocidad siempre será la misma eternamente, o hasta que se encuentre con algo que llegara a ejercer una fuerza sobre el cuerpo, por ejemplo la fuerza gravitatoria de algún planeta o estrella.

En la Tierra, siempre que se lanza un cuerpo hay varias fuerzas que actúan sobre el mismo, por eso habrá aceleración.

En el caso de la fuerza de gravedad terrestre que atrae a todos los cuerpos hacia abajo, la aceleración haría aumentar la velocidad del cuerpo hacia abajo en cada segundo que pasara (dicha aceleración siempre es de aproximadamente 10 metros por segundo más de velocidad hacia abajo por cada segundo que transcurriera, o sea que tras pasar 1 segundo, la velocidad será 10 m/s más que antes, y tras pasar otro segundo será de otros 10 m/s más, por lo tanto en 2 segundos la velocidad habrá aumentado 20 m/s y en 3 segundos habrá aumentado 30 m/s).

Otras fuerzas que afectan el movimiento de un cuerpo en movimiento aquí en la Tierra son las partículas que forman parte de la atmósfera y ejercen una fuerza en contra del movimiento, o el viento en contra, generando una aceleración negativa en su movimiento (desaceleración), por lo que la velocidad del cuerpo iría disminuyendo hasta neutralizarse y detenerse por completo. Si por ejemplo, lanzamos en la superficie del suelo una patineta, la misma recorrerá algunos metros hasta detenerse por completo, ya que el rozamiento con el piso ejercerá una fuerza en contra que provocará una aceleración negativa (desaceleración) sobre el cuerpo, disminuyendo su velocidad por cada segundo que pasara, hasta hacer que se detenga por completo.

Por eso cuando uno anda en bicicleta o conduce un automóvil cada tanto tiene que pedalear o pisar el acelerador para ejerecer una fuerza sobre el vehículo que por consiguiente genera aceleración. Al dejar de pedalear en una bicicleta o soltar el acelerador de un automóvil, el vehículo continuará con su movimiento aunque irá desacelerando su marcha ya que las fuerzas de rozamiento del suelo y de las partículas de la atmósfera o aire, ejercerán una fuerza inversa que provocará por lo tanto una aceleración inversa (o sea desaceleración). Para mantener una velocidad constante que contrarrestara la desaceleración provocada por las fuerzas de rozamiento del suelo y el aire, habría que seguir pedaleando o pisando el acelerador constantemente, mientras que para acelerar la velocidad, habría que ejercer aún más fuerza con los pedales o con el motor del automóvil (apretando más a fondo el acelerador) lo que generaría por ende una mayor aceleración. Hablaremos con mayor detalle sobre el concepto de fuerzas y su relación con la aceleración en la tercera parte de esta guía.

La aceleración en física se simboliza con la letra a y su fómula es v / s (velocidad por segundo, ya que es la tasa de cambio de la velocidad por cada segundo que pasa). Pero como la fórmula de la velocidad es m / s (metros por segundo), aceleración sería m/s / s, o lo que es igual a m/s2.

Veamos un ejemplo: Si un automóvil parte del reposo y su motor ejerce una fuerza sobre las ruedas del vehículo, que genera una aceleración de 10 m/s2 (o 10 m/s de más por cada segundo que pasa), durante 10 segundos, luego de pasados esos 10 segundos, la velocidad v del automóvil será de a . Δt (aceleración multiplicada por intervalo de tiempo transcurrido), o lo que es igual a 10 m/s2 . 10 s = 100 m/s. Por lo tanto, su velocidad luego de transcurridos 10 segundos será de 100 m/s.

Otro ejemplo: Ya se mencionó que la fuerza de gravedad terrestre genera aproximadamente una aceleración hacia abajo de 10 m/s2. Si dejamos caer una roca desde un edificio, si no tomamos en cuenta la fuerza en contra ejercida por las partículas de aire de la atmósfera, su velocidad hacia abajo irá aumentando 10 m/s por cada segundo que pasara. Por lo tanto, la velocidad de la roca al momento del impacto contra el suelo, si se da una caída de 14 segundos de duración, será de 10 m/s2 . 14 s = 140 m/s.
 
En realidad, es necesario notar que la aceleración provocada por la fuerza de gravedad terrestre sobre los cuerpos es de 9,81 m/s2; pero para agilizar y facilitar los cálculos en los ejemplos anteriores, redondeamos este valor a 10 m/s2.
 

Explicación del movimiento rectilíneo uniforme

Otro tema muy importante de la cinemática y la física en general es el estudio de los movimientos. Si conocemos bien sus fórmulas, podremos prever con exactitud, hasta dónde llegará un cuerpo lanzado, qué trayectoria seguirá, cuál será su velocidad máxima, su altura máxima, en qué momento tocará el piso, también podremos conocer desde dónde se lanzó, etc. A continuación, examinaremos brevemente estas fórmulas que nos serán muy útiles.

Comenzaremos por el tipo de movimiento rectilíneo uniforme, que se trata de un movimiento en línea recta en el que la velocidad del cuerpo no varía a lo largo de su trayectoria, por lo que su velocidad siempre es la misma y por lo tanto no tiene aceleración, y lo que también significa que no hay ninguna fuerza ejerciéndose sobre el mismo.

Dado que la velocidad no varía a lo largo del recorrido, si se divide el desplazamiento entre el tiempo transcurrido para realizar dicho desplazamiento, obtenemos la velocidad. O sea:

Δx / Δt = v

Y para conocer el desplazamiento o cuánto se moverá simplemente hay que despejar Δx de la siguiente manera:

Δx = v . Δt

Por lo tanto, la cantidad de metros que el objeto se moverá en el eje x es igual a la velocidad constante del cuerpo, multiplicada por el tiempo que dura dicho movimiento. En otras palabras, el desplazamiento total entre el punto inicial y el punto final es igual a la velocidad multiplicada por el intervalo de tiempo entre el momento de inicio y final de dicho movimiento.

Si el punto inicial del movimiento es x0 y el punto final x1, y el momento en el que comienza el movimiento t0 y el momento en que termina t1, la fórmula quedaría así:

x1 - x0 = v (t1 - t0

Y si despejamos el punto final, o sea x1, obtenemos:
x1 = x0 + v (t1 - t0)

Esto significa que la posición final x1 del movimiento es igual a la posición inicial x0 más la velocidad constante multiplicada por el intervalo de tiempo transcurrido entre el momento en que comienza y termina el movimiento (t0 y t1 respectivamente).
 
Para generalizar esta misma ecuación se puede escribir de la siguiente manera:
 

x(t) = x0 + v (t - t0)

Donde x(t) es la posición final del cuerpo en el instante t, x0 la posición inicial del cuerpo, v la velocidad constante del movimiento, t el momento final del movimiento y t0 el momento inicial. Esa es la ecuación general del movimiento rectilíneo uniforme también llamada ecuación horaria del movimiento rectilíneo uniforme y sirve para conocer cuánto se ha movido un cuerpo o cuál será su posición final. Se llama ecuación horaria porque si se fijan bien, se trata de una función lineal donde el valor de x es en función del valor variable de t (ya que x0, v y t0 son constantes).

Por otro lado, si ya conocemos su posición final, pero desconocemos algunas de las otras variables (por ejemplo su posición inicial, o el tiempo transcurrido de movimiento o la velocidad constante, simplemente hay que despejar la incógnita de la ecuación).

Veamos un ejemplo:

Si un automóvil comienza a moverse desde una posición inicial ubicada a 100 metros a la derecha de un árbol (punto de referencia del modelo en cuestión y elegido arbitrariamente) y se mueve durante 10 segundos a una velocidad constante de 20 m/s ¿cuál será su posición final una vez transcurridos los 10 segundos de movimiento?

Teniendo en cuenta la ecuación horaria del movimiento rectilíneo uniforme obtenemos:

100 m + 20 m/s (10s - 0s) = 100 m + 200 m - 0 m = 300 m

La posición final del automóvil estará a 300 metros a la derecha del árbol.

Explicacion del movimiento rectilineo uniforme
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Si analizamos el gráfico de la posición en función del tiempo de este ejemplo, notaremos que efectivamente se trata de una función lineal y que su velocidad (tasa de cambio de posición por unidad de tiempo) es constante, y es fácil de probar, ya que la inclinación de la línea siempre es la misma durante todo el intervalo de 10 segundos de desplazamiento, o sea 20 m/s.

También si se busca la derivada de la función posición en función del tiempo, obtendremos un valor constante, ya que de n . xn-1 (la fórmula para obtener derivadas que aprendimos en la sección anterior): La función 100 + 20 (t - t0)1 tiene la siguiente derivada: 0 + 1 . 20 (t - t0)1-1 = 0 + 1 . 20 (t - t0)0 = 1 . 20 . 1 = 20. Y coincide con la velocidad de 20 m/s.

Además, se muestra un gráfico de la velocidad en función del tiempo. Como la velocidad es constante y no tiene aceleración, la inclinación de la gráfica o derivada es 0. También se puede ver que si se multiplica velocidad por tiempo transcurrido, se puede hallar el desplazamiento total, y como tanto la velocidad (en el eje y) como el tiempo transcurrido (en el eje x) son los lados de un rectángulo que multiplicados nos dan como resultado el área de dicho rectángulo, llegamos a la conclusión de que el área del rectángulo que se forma es igual al desplazamiento ocurrido.
 

Explicación del movimiento rectilíneo uniformemente variado

Este tipo de movimiento se da en línea recta y dado que hay una fuerza constante que se ejerce sobre el cuerpo en movimiento, tiene una aceleración constante que hace variar la velocidad a un ritmo o tasa fija. Un ejemplo común del movimiento rectilíneo uniformemente variado es el de caída libre, donde la fuerza ejercida sobre el cuerpo es la de la gravedad terrestre. Otro ejemplo, sería el de un automóvil que acelera a una tasa fija haciendo variar la velocidad del vehículo de manera uniforme (por cada unidad de tiempo, o segundo, se suman la misma cantidad de m/s a la magnitud de velocidad). El movimiento rectilíneo uniformemente variado siempre tiene la misma aceleración, en otras palabras, la aceleración no cambia, lo que cambia es la velocidad y obviamente la posición del cuerpo en movimiento.

Para conocer la aceleración por segundo de un vehículo, hay que dividir la diferencia de velocidad para un determinado intervalo temporal entre dicho intervalo (en otras palabras, velocidad dividida el tiempo transcurrido para alcanzar esa velocidad).

a = Δv / Δt = (v2 - v1) / (t2 - t1)

Donde v2 es la velocidad al final del intervalo temporal que va del instante t1 al t2 y v1 la velocidad al inicio del intervalo.

Entonces, si queremos averiguar cuál será la velocidad v2 del cuerpo en movimiento luego de determinado tiempo, tenemos que despejar v2 en la ecuación que acabamos de ver para obtener la aceleración:

De a = (v2 - v1) / (t2 - t1) obtenemos:

a (t2 - t1) = v2 - v1

v1 + a (t2 - t1) = v2

Por lo tanto la velocidad v2 será igual a la velocidad inicial del cuerpo (0 m/s si estaba quieto al principio o cualquier otro valor en m/s si ya estaba en movimiento al principio del intervalo temporal que estamos estudiando) más la aceleración multiplicada por el tiempo durante el cual dicha aceleración estuvo actuando (que es lo mismo que decir durante el tiempo en que la fuerza que provoca esa aceleración se ha ejercido sobre el cuerpo en movimiento).

La misma ecuación se puede escribir de la siguiente manera más general:

v(t) = v0 + a(t - t0)


En donde la velocidad v(t) en el instante t, es igual a su velocidad inicial v0 en el momento t0 más la aceleración constante a multiplicada por el intervalo de tiempo durante el que dicha aceleración estuvo actuando (lo que es igual a decir durante el tiempo en que la fuerza que generó la aceleración a fue ejercida sobre el cuerpo en movimiento). Esta ecuación se llama ecuación horaria de la velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado y sirve para conocer la velocidad de cualquier cuerpo luego de cierta cantidad de tiempo de haber sido acelerado (o desacelerado si a tiene un valor negativo).

Ahora buscaremos la ecuación general que nos permitirá conocer la posición de un cuerpo con movimiento rectilíneo uniformemente variado luego de un determinado tiempo de estar moviéndose. Para eso primero hagamos la gráfica de velocidad en función del tiempo para el movimiento rectilíneo uniformemente variado:

Movimiento rectilineo uniformemente variado

Como en el caso del movimiento rectilíneo uniforme, Δx = v . Δt , solamente que en el caso del movimiento rectilíneo uniformemente variado, como la velocidad no es constante sino que varía, la gráfica de velocidad no será una línea horizontal sino que una línea recta con inclinación, por lo que su valor en lugar de ser igual al área de un rectángulo será igual al área de un trapecio rectángulo (un cuadrilátero con dos ángulos internos rectos, uno agudo y el otro obtuso como el que se muestra en la imagen de arriba) que no es más que un triángulo rectángulo (triángulo que entre sus tres ángulos internos tiene un ángulo recto de 90°) sumado a un rectángulo. Esto si la velocidad inicial del movimiento es mayor a 0 m/s. Si la velocidad inicial v1 es de 0 m/s en t1 entonces no sería un trapecio rectángulo lo que se formaría sino que directamente un triángulo rectángulo (que sería el trapecio sin la parte del rectángulo de abajo). Eso sería así porque de la ecuación horaria de la velocidad v(t) = v0 + a(t - t0), tenemos que al término del producto de multiplicar la aceleración por el intervalo de tiempo en que ésta ha actuado hay que sumarle la velocidad constante que tenía al iniciar el análisis del movimiento en cuestión, pero si al inicio, su velocidad constante era de 0 m/s, la gráfica comenzará abajo, a la altura del eje x, por lo que solamente se formará un triángulo rectángulo.

Por lo tanto, la fórmula Δx = v . Δt, en este caso como debemos sumarle a la velocidad inicial constante multiplicada por el intervalo de tiempo Δt (área rectangular), la velocidad cambiante posterior causada por la aceleración (área triangular). O sea que sumamos la superficie del rectángulo más la superficie del triángulo de la gráfica de arriba (recordemos que el área del triángulo se obtiene multiplicando sus dos catetos y luego dividiendo el resultado entre 2). Entonces:

Δx = x2 - x1 = v1 . (t2 - t1) + [(v2 - v1) . (t2 - t1)] / 2
y como v2 - v1es igual a: a(t2 - t1)

x2 - x1 = v1 . (t2 - t1) + [a(t2 - t1) . (t2 - t1)] / 2

x2 - x1 = v1 . (t2 - t1) + a(t2 - t1)2 / 2

Despejamos x2 y obtenemos:

x2 = x1 + v1 . (t2 - t1) + 1/2 a(t2 - t1)2

Y si lo pasamos a una forma más generalizada tenemos:

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1/2 a(t - t0)2

Donde la posición x en el instante t es igual a la posición inicial x0 más la velocidad inicial multiplicada por el intervalo de tiempo analizado entre el instante inicial t0 y el instante final t, más la mitad de la aceleración multiplicada por el cuadrado del intervalo de tiempo transcurrido entre t0 y t. Se denomina ecuación horaria de posición para el movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Se trata de una función cuadrática, por lo que la gráfica tendrá forma de parábola (el nombre que tiene ese tipo de curva que se forma en este tipo de funciones con valores elevados al cuadrado). Y como la tasa de cambio de posición por unidad de tiempo es la velocidad, o sea la derivada de la función posición o gradiente de la línea tangente a la gráfica en cada posición, tenemos que la velocidad variará a cada instante. Así como la velocidad equivale a la derivada de la función posición, la aceleración equivale a la derivada de la función velocidad, que en este caso es constante, ya que la velocidad varía de manera uniforme, su gradiente siempre es la misma, por lo que se trata de una función lineal cuya derivada es un valor constante, en este caso la aceleración.

Funciones del movimiento recitilineo uniformemente variado

 

Como se puede observar en las gráficas de la imagen y de la ya conocida fórmula para obtener derivadas de f(x) = xn  => f'(x) = nxn-1

La derivada de la función posición en función del tiempo para el movimiento rectilíneo uniformemente variado sería si la tomamos término por término:

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1/2 a(t - t0)2
 

  • para x0 : Ya que la posición inicial siempre es la misma (constante) su derivada es igual a 0
  • para v0 (t - t0) : de la derivada de v0 (t - t0)1 => 1 . v0 (t - t1) 1-1 = 1 . v0 (t - t1)0 = 1 . v0 . 1 = v0
  • para 1/2 a(t - t0)2 :de la derivada de 1/2 a(t - t0)2 => 2/2 a(t - t0)2-1 = 1 a(t -t0)1 = a (t - t0)

Por lo que la derivada de la función posición x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1/2 a(t - t0)2 es la función velocidad v0 + a(t - t0)

Y para la función velocidad su derivada debería ser la aceleración constante. Tomemos término por término:
  • para v0 : Como la velocidad inicial siempre es la misma (constante) su derivada es igual a 0
  • para a(t - t0) : de la derivada de a(t- t0)1 => 1 . a(t - t0)1-1 = 1 . a(t - t0)0 = 1 . a . 1 = a
Por lo que su derivada es 0 + a = a, lo que equivale a decir que la derivada de la función velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado es su aceleración constante.

Veamos un ejemplo muy común del movimiento rectilíneo uniformemente variado que es el de la caída libre de un cuerpo:

Cuando trabajamos con caída libre, como la fuerza que actúa sobre el cuerpo y lo acelera es la gravedad terrestre, se suele reemplazar la letra a de la aceleración con la letra g por tratarse de la aceleración causada por la fuerza de gravedad. La aceleración terrestre a alturas en las que habitamos los seres humanos es de aproximadamente 9,81 m/s2, lo que significa que por cada segundo que pasa durante la caída, la velocidad del objeto se acelerará en 9,81 m/s. Cuanto más nos alejamos del planeta la fuerza de gravedad ejercida se reduce y por lo tanto la aceleración causada por la misma también disminuye.

Si soltamos un objeto desde 100 metros de altura ¿luego de cuántos segundos de caída llegará al suelo? y ¿a qué velocidad impactará contra el suelo? Para este ejemplo no tendremos en cuenta la fuerza en contra del movimiento causada por las partículas de aire.
Caida Libre
Lo primero que tenemos que averiguar es el tiempo en que tardará en llegar al piso luego de haberse soltado desde la altura de 100 metros. Como se trata de un movimiento rectilíneo vertical, trabajaremos en el eje y en lugar del eje x, por lo que la posición x se sustituye por la posición y. Por lo tanto, la ecuación horaria quedaría:

y = y0 + v0 (t - t0) + 1/2 g(t - t0)2

Como el objeto parte del reposo total y comenzará a moverse recién cuando se suelte, su velocidad inicial v0 será de 0 m/s. Para facilitar las cosas tomaremos como posición inicial los 100 metros y posición final 0 metros en el suelo. Además, como tendrá que moverse de los 100 metros de altura a los 0 metros, le daremos a g un valor negativo de -9,81 m/s2, (esto no significa que vaya a moverse cada vez más despacio, simplemente sirve para reducir la posición desde 100 metros a 0 metros. Es más, esto significa que el objeto se acelerará hacia abajo. Son matemáticas y las podemos acomodar a nuestras comodidades para obtener resultados más fáciles de entender). El instante inicial t0 será igual a 0 segundos ya que recién cuando soltamos el objeto comienza el conteo del cronómetro. Entonces, la ecuación horaria del movimiento rectilíneo uniformemente variado para la caída libre nos quedaría así:

0 m = 100 m + 0 m/s (t - 0s) - 1/2 . 9,81 . (t - 0s)2

Lo que tenemos que hacer ahora es despejar en la ecuación al instante t en el que el cuerpo tocará el suelo.

0 = 100 - 1/2 . 9,81. t2
 
-100 = 1/2 . -9,81 . t2

2 . -100 = -9,81 . t2

-200 / -9,81 = t2

20,39 = t2 (como dividir dos valores negativos nos da un valor positivo obtenemos 20,39 positivo)

20,391/2 = t (Para encontrar el valor de t, hay que sacar la raíz cuadrada de 20,39. Un número elevado a una potencia 1/2 equivale a raíz cuadrada de ese número)

t = 4,52 s

Por lo tanto, el objeto impactará contra el suelo luego de 4,52 segundos de comenzada su caída desde una altura de 100 metros.

Ahora averiguaremos la velocidad con que impactará contra el suelo, utilizando la ecuación horaria de la velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado:

Como el objeto parte del reposo total, su velocidad inicial v0 es de 0 m/s. Como el cronómetro comienza a contar desde los 0 segundos y del resultado que obtuvimos antes sabemos que tardará 4,52 segundos en llegar hasta el piso, el instante t0 es igual a 0s y el instante t a 4,52 segundos. Por lo tanto, la ecuación horaria de velocidad quedará de la siguiente manera:

v = 0m/s - 9,81m/s2 (4,52s - 0s)

v = -9,81 . 4,52 = -44,34

Por lo tanto su velocidad hacia abajo (negativa) será de 44,34 m/s en el momento de impactar contra el suelo.
 

Explicación del tiro oblicuo

Antes de comenzar con la descripción del tiro oblicuo, primero vamos a ver un tema que es necesario tener claro, una herramienta matemática indispensable para la resolución de problemas de física como el tiro oblicuo y otros que veremos más adelante en esta guía, la trigonometría.

La trigonometría nos permite estudiar la relación que existe entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo (un triángulo que tiene un ángulo interno de 90° entre los tres que contiene). De hecho, etimológicamente trigonometría significa "medición de los triángulos" y deriva de las palabras griegas trígono (triángulo) y metron (medida). Es muy utilizada en diversos campos de las ciencias y la ingeniería para hacer mediciones de ángulos y distancias de todo tipo, como las técnicas de triangulación, cálculos de vectores, en aviación para el cálculo de trayectorias y planes de vuelo, en astronomía para medir distancias, en sistemas de navegación por satélites, en ingeniería civil para la construcción de puentes y túneles, entre otras tantas disciplinas. Nosotros las vamos a utilizar en física para el cálculo exacto de movimientos más complejos como el tiro oblicuo y para la medición de fuerzas más adelante.

La función principal de la trigonometría es que nos permite conocer cuánto miden los ángulos internos de un triángulo con tan solo conocer las longitudes de dos lados del triángulo, o bien conocer cuánto miden los lados y ángulos de un triángulo solamente conociendo cuánto miden un ángulo y un lado del triángulo.

Lo primero que hay que saber es que en todos los triángulos siempre la suma de sus ángulos internos da un total de 180° y que existen distintos tipos de triángulos, los equiláteros (cuyos lados tienen todos la misma longitud y sus ángulos son todos iguales de 60°), los isósceles (con dos lados iguales y uno distinto), los escalenos (con sus tres lados distintos) y los rectángulos (aquellos triángulos que contienen un ángulo interno de 90°).

En trigonometría se trabaja con triángulos rectángulos en los que un ángulo es recto de 90° y los otros tienen que sumar entre los dos 90° (para cumplir con la ley de los 180°). Por ejemplo, ambos de 45°, o uno de 30° y el otro de 60°, etc.

Sin importar las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos, sus razones (cociente de las divisiones de las longitudes de un lado con el otro) son siempre las mismas para triángulos cuyos ángulos internos miden lo mismo, sin importar qué longitud tienen sus lados, las razones siempre son las mismas. Aprovechándonos de esto, entonces sabemos que a cada ángulo (siempre que uno de los tres ángulos sea recto y por ende el triángulo de tipo rectángulo) les corresponden siempre las mismas razones entre sus lados.
Triangulo rectangulo
Veamos entonces un triángulo rectángulo con un ángulo de 90° y un ángulo α (alfa) que se encuentra al frente del ángulo recto. El triángulo tiene un lado opuesto al ángulo α (lado a o cateto opuesto), otro lado adyacente al ángulo α (lado b o cateto adyacente) y un lado inclinado siempre más largo que cualquiera de los otros dos, llamado hipotenusa o lado h. El ángulo α se forma entre el lado adyacente y la hipotenusa

Ahora supongamos que queremos conocer el ángulo α de un triángulo y lo único que conocemos es la longitud de dos de sus lados:

Si los lados que conocemos son el cateto opuesto al ángulo α, con 5 cm de longitud y la hipotenusa con 10 cm; y buscamos la razón del lado opuesto sobre la hipotenusa, en otras palabras dividimos la longitud del lado opuesto entre la longitud de la hipotenusa, obtendremos una razón de 0,5 (ya que 5/10 = 0,5); si luego buscamos en una tabla de ángulos correspondientes a cada razón entre el lado opuesto y la hipotenusa o en una calculadora científica, encontraremos que la razón 0,5 corresponde a ángulos de 30°. Por lo tanto el ángulo α es de 30°.

Pero si los lados en cuestión tienen en lugar de 5 y 10 centímetros, como en el caso anterior, 10 y 20 centímetros respectivamente, la razón será la misma ya que 10/20 = 0,5. Por lo tanto como la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa es la misma, el ángulo α también será de 30°. Eso nos demuestra que sin importar la longitud de los lados, siempre que las razones sean las mismas, sus ángulos α medirán lo mismo.

A esta razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa se la llama seno. A cada seno le corresponde un ángulo, por lo tanto lo único que tenemos que hacer para averiguar el ángulo α de un triángulo rectángulo es dividir la longitud del lado opuesto entre la longitud de la hipotenusa y luego con una calculadora científica o una tabla trigonométrica averiguar a qué ángulo corresponde esa razón.

Pero si los lados que conocemos son el cateto adyacente al ángulo α y la hipotenusa, simplemente hay que dividir el lado adyacente entre la hipotenusa y su razón nos dará lo que se denomina coseno de un ángulo, luego buscamos en la calculadora científica o en una tabla de valores trigonométricos a qué ángulo corresponde dicho coseno y así sabremos cuánto mide α.

En caso de conocer solamente las longitudes de los lados opuesto y adyacente al ángulo α, si dividimos el primero entre el segundo (opuesto/adyacente) obtendremos otra razón que se llama tangente de un ángulo. Y hacemos lo mismo, buscamos con la calculadora científica o en una tabla trigonométrica a qué ángulo corresponde esa tangente.

Por lo tanto tenemos que:
  • Lado Opuesto / Hipotenusa = Seno del ángulo α
  • Lado Adyacente / Hipotenusa = Coseno del ángulo α
  • Lado Opuesto / Lado Adyacente = Tangente del ángulo α

Veamos un ejemplo con un triángulo rectángulo del cual solamente conocemos la longitud de su lado opuesto al ángulo α (lado a) y el lado adyacente a dicho ángulo (lado b). El lado a mide 40 cm y el lado b mide 27 cm. Busquemos cuánto mide la hipotenusa:

Ejemplo de trigonometria

Por deducción nos damos cuenta que si dividimos lado a / lado b obtendremos la tangente del ángulo α y si luego buscamos a qué ángulo corresponde dicha tangente obtendremos el ángulo de α. Ahora que ya conocemos de cuánto es el ángulo α y como sabemos que el coseno del ángulo α es igual a la razón de dividir lado b / hipotenusa, averiguamos cuál es el coseno del ángulo α cuyo valor ya conocemos puesto que lo hallamos en el paso anterior cuando buscamos la tangente. Y como coseno α = lado b / hipotenusa, simplemente despejamos la hipotenusa en la ecuación haciendo hipotenusa = lado b / coseno α.

Pasemos la mencionada deducción a la práctica:

Tangente α = 40 / 27 = 1,481481

Buscando en la calculadora científica averiguamos que 1,481481 corresponde al ángulo de 55,98°, que es lo que mide α.

Si ahora buscamos el coseno del ángulo de 55,98° en la calculadora científica obtenemos un valor de: 0,559482. Si ahora dividimos 27 / 0,559482 (hipotenusa = lado b / coseno α), como se explicó en la deducción obtenemos la longitud de la hipotenusa que es de 48,26 centímetros (redondeando a dos cifras decimales detrás de la coma).

Si por casualidad les queda la duda de cuánto mide el otro ángulo β del triángulo rectángulo en cuestión, la respuesta es sencilla: ya que la suma de todos los ángulos interiores de un triángulo siempre es de 180°; y como tenemos un ángulo recto de 90°, y el ángulo α ya sabemos que mide 55,98°; simplemente restamos 90 - 55,98 = 34,02. Por lo tanto el ángulo β que nos faltaba conocer mide 34,02°. En geometría, los ángulos α y β se llaman ángulos complementarios ya que ambos suman 90°. Y un ángulo es complementario del otro siempre que el primero sumado al segundo diera como resultado 90°.

Para encontrar el seno, coseno o tangente de un ángulo con la calculadora científica de Windows hay que introducir el ángulo cuya razón trigonométrica queremos conocer y luego presionar el botón sin (para seno), cos (para coseno) o tan (para tangente). Si por el contrario ya tenemos el valor del seno, coseno o tangente y lo que queremos conocer es a qué ángulo corresponde, hay que introducir el valor en cuestión, luego presionar el botón Inv y por último sin, cos o tan según lo requerido.

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Ahora que ya conocemos las herramientas trigonométricas necesarias para seguir trabajando con los conceptos de física que siguen, podemos comenzar a trabajar con el tiro oblicuo.

Se denomina tiro oblicuo al movimiento en el que un cuerpo lanzado describe una trayectoria con forma de parábola y se encuentra influenciado por un campo gravitatorio uniforme que ejerce su fuerza sobre el cuerpo.

Este tipo de movimiento se encuentra compuesto por dos movimiento rectilíneos independientes:

  • Un movimiento rectilíneo uniforme horizontal
  • Un movimiento rectilíneo uniformemente variado vertical.

Un ejemplo del tiro oblicuo podría ser el de una pelota lanzada horizontalmente hacia adelante desde una ventana, la cual tendrá una velocidad horizontal inicial, pero como luego una vez suelta no habrá ninguna fuerza horizontal que se estuviera ejerciendo sobre la pelota, su velocidad horizontal será siempre la misma, dando como resultado un movimiento rectilíneo uniforme. Sin embargo, como sobre la pelota además sí se ejerce una fuerza vertical hacia abajo (la de la gravedad terrestre), causando un movimiento rectilíneo uniformemente variado hacia abajo, su movimiento resultante no será ni rectilíneo horizontal ni rectilíneo vertical, sino que que será una combinación de ambos, dando una trayectoria de forma parabólica como la que se ve en la imagen:

Tiro oblicuo

Otro ejemplo sería el de una bola lanzada desde un cañon inclinado a cierto ángulo (como el de la imagen de arriba). Su movimiento tendrá vectores de desplazamiento y velocidad compuestos por la suma de sus vectores de desplazamiento y velocidad horizontal y vertical (en el caso del horizontal la velocidad no variará mientras que en el caso del vertical, debido a la fuerza de gravedad terrestre variará), dando como resultado una trayectoria parabólica, ya que la fuerza de gravedad vertical primero desacelerará a la bola hacia abajo hasta que a cierta altura llegue a detenerla por un instante infinitesimal y luego comience a acelerarla hacia abajo hasta tocar el suelo.

Por lo tanto, cada vez que trabajamos con movimientos de tiro oblicuo tenemos que trabajar por separado con los dos tipos de movimientos que lo componen, el horizontal y el vertical. El horizontal siempre es uniforme por no haber fuerzas ejerciéndose sobre el cuerpo que causen aceleraciones, mientras que el vertical es uniformemente variado por acción de la gravedad.

Una cosa que hay que aclarar sobre los ejemplos de tiro oblicuo es que nunca se tiene en cuenta la fuerza en contra del movimiento que ejerce el aire, el cual se trata de un medio viscoso que ejerce resistencia al movimiento. En los ejemplos de tiro oblicuo siempre se considera la resistencia del aire nula.

Veamos un ejemplo:

Si se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido y el proyectil parte con una velocidad de 50 m/s en una dirección que forma 37° con la horizontal desde una altura de 2 metros del piso. a) Hallar la posición x, y del perdigón a los 2 segundos y 5 segundos después de haber partido, respectivamente. b) Determinar los componentes de los vectores velocidad (en los ejes x,y) en los instantes anteriores y representarlos. c) Hallar en qué instante se encuentra al mismo nivel que el de partida, qué posición ocupa y cuál es su velocidad en ese instante. d) ¿En qué instante el proyectil alcanzará su altura máxima? ¿Qué velocidad tendrá allí?

(Recordemos que el valor de la aceleración hacia abajo por la fuerza de gravedad es -9,81 m/s2)

Ejemplo de tiro oblicuo
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a) Para comenzar a trabajar con este tiro oblicuo debemos separar la velocidad inicial de 50 m/s de dirección 37° en sus componentes vectoriales x e y. Tomaremos como punto de referencia inicial x = 0 a la posición de la boca del rifle desde donde sale el perdigón, y como punto inicial y = 0 la altura del suelo.

De las razones:

  • Seno α = Lado opuesto / Hipotenusa
  • Coseno α = Lado adyacente / Hipotenusa

Tenemos que Sen 37° = Componente y de la velocidad / 50m/s

Y que Cos 37° = Componente x de la velocidad / 50m/s

Por lo que para averiguar las componentes vectoriales x e y de la velocidad las despejamos a partir de las razones trigonométricas de seno y coseno para el ángulo de 37°:

Sen 37° . 50m/s = Componente y de la velocidad = 30,09m/s y
Cos 37° . 50m/s = Componente x de la velocidad = 39,93m/s x

Como la componente horizontal del tiro oblicuo es un movimiento rectilíneo uniforme, para averiguar la posición x del perdigón en diferentes instantes, utilizaremos la ecuación horaria de la posición en movimientos rectilíneos uniformes:

x(t) = x0 + v (t - t0)

Como la componente vertical del tiro oblicuo es un movimiento rectilíneo uniformemente variado, para averiguar la posición y del perdigón en diferentes instantes, utilizaremos la ecuación horaria de la posición en movimientos rectilíneos uniformemente variados:
 
x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1/2 a(t - t0)2

Luego de 2 segundos de salido del rifle el perdigón estará en:

x = 0m + 39,93m/s (2s - 0s) = 79,86m en x
y = 2m + 30,09m/s (2s - 0s) - 1/2 . 9,81(2s - 0s)2 = 42,56m en y (la posición inicial en y es 2m porque la boca del rifle se encuentra a esa altura).

A los 5 segundos de salido del rifle el perdigón estará en:

x = 0m + 39,93m/s (5s - 0s) = 199,65m en x
y = 2m + 30,09m/s (5s - 0s) - 1/2 . 9,81(5s - 0s)2 = 29,82m en y
 

b) Como ya hicimos la descomposición de la velocidad en el segundo 0 o instante inicial tenemos:

Sen 37° . 50m/s = Componente y de la velocidad = 30,09m/s y
Cos 37° . 50m/s = Componente x de la velocidad = 39,93m/s x

Dado que no hay ninguna fuerza horizontal ejerciéndose sobre el perdigón, la componente horizontal de su velocidad no variará con el tiempo, por lo que tanto a los 2 segundos como a los 5 segundos de haber sido disparado, su componente horizontal de velocidad siempre será de 39,93 m/s.

Sin embargo, dado que la fuerza de gravedad atrae hacia abajo al perdigón, genera aceleración negativa sobre el mismo, por lo que primero desacelerará su velocidad positiva (hacia arriba) y una vez que haya llegado al punto más alto de su trayectoria, por un instante infinitesimal tendrá velocidad vertical 0 m/s, y luego comenzará a acelerar hacia abajo. Su aceleración vertical siempre será negativa, con sentido hacia abajo.

Para la componente vertical utilizamos la ecuación horaria de la velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado.

v(t) = v0 + a(t - t0)

Por lo que la componente vertical de su velocidad a los 2 segundos será:

vy = 30,09m/s - 9,81m/s2 . (2s - 0s) = 10,47m/s

Y la componente vertical de su velocidad a los 5 segundos será:

vy = 30,09m/s - 9,81m/s2 . (5s - 0s) = -18,96m/s

Entonces las componentes de su velocidad serán:

  • a los 2 segundos serán: vx = 39,93m/s y vy = 10,47m/s (hacia adelante y arriba pero más despacio que al principio)
  • a los 5 segundos serán: vx = 39,93m/s y vy = -18,96m/s (hacia adelante y abajo)

c) La altura de partida del perdigón es de 2 metros por encima del suelo, y la ecuación que utilizaremos es la ecuación horaria de posición en el movimiento rectilíneo uniformemente variado que ocurre verticalmente por acción de la fuerza de gravedad. Por lo tanto, hay que despejar en esa ecuación el instante t en el que se encuentra a la misma altura de partida:

2m = 2m + 30,09m/s (ts - 0s) - 1/2 . 9,81(ts - 0s)2

0 = 30,09 . t - 1/2 . 9,81 . t2

Ya que la ecuación quedó con el mismo formato de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 (un tipo especial de ecuación con dos x, una elevada al cuadrado y otra elevada a la 1, que cuenta con una fórmula o método sencillo para hallar el valor de x, y que se mostrará a continuación). El formato de la ecuación cuadrática siempre tiene que ser un 0 (cero) igual a la suma de x2 multiplicado por una constante, más x multiplicado por otra constante, más una tercera constante. Podemos aplicar el método especial para hallar el valor de x en funciones cuadráticas con ese formato, y en este caso el valor x a hallar vendría a ser el instante t. Esta es la fórmula que permite hallar el valor de x en funciones cuadráticas:
Solucion de la funcion cuadratica

Si ordenamos los términos quedaría:

-4,905 t2 + 30,09 t + 0 = 0

Donde a = -4,905 ; b = 30,09 ; c = 0

t = [-30,09 +- (30,092 - 0)1/2 ] / -9,81

Tenemos entonces dos resultados para t:

t =-30,09 + 30,09 / -9,81 = 0 / 9,81 = 0

t = -30,09 - 30,09 / -9,81 = 6,13

En el primer caso t = 0, lo que equivale al momento inicial; el otro instante en el que se encontrará a esa misma altura entonces es 6,13 segundos, que es el que nos interesa.

Por lo tanto luego de 6,13 segundos de disparado, el perdigón se encontrará a la misma altura de la cual partió.

Ahora buscaremos su posición en ese instante, utilizando la ecuación horaria de posición para el movimiento rectilíneo uniforme horizontal (el vertical ya lo conocemos ya que es el mismo que el de partida).

x = 0 + 39,93 (6,13 - 0) = 39,93 . 6,13 = 244,77

Entonces, su posición en el instante t = 6,13 segundos será x = 244,77 metros ; y = 2 metros.

La componente horizontal de su velocidad no varía mientras que la vertical sí por acción de la aceleración de la fuerza de gravedad. Entonces aplicamos la ecuación horaria de la velocidad para movimiento rectilíneo uniformemente variado.

vy = 30,09 - 9,81 . (6,13 - 0) = 30,09 - 60,14 = -30,05 m/s

Su valor es negativo indicando que en ese punto su velocidad es hacia abajo y en constante aceleración negativa (lo que significa que luego de cada segundo cae con mayor velocidad, para ser más exactos 9,81 m/s más por cada segundo que pasa).

Ahora tenemos que combinar las dos componentes del vector velocidad aplicando el teorema de Pitágoras, ya que cada componente vendría a ser como los catetos de un triángulo rectángulo y el vector velocidad la hipotenusa:

(30,052 + 39,932)1/2 (donde la potencia de 1/2 equivale a raíz cuadrada) lo que equivale a 49,97 m/s.

d) Para encontrar la altura máxima que alcanzará el perdigón, debemos buscar primero en qué instante su velocidad vertical será de 0m/s (el punto donde el perdigón deja de subir para comenzar a bajar).

Para eso utilizaremos la ecuación horaria de la velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado de su componente vertical.

0 = 30,09 - 9,81 . t

Si despejamos t:

t = -30,09 / -9,81 = 3,07 segundos (recordemos que si dividimos dos valores negativos obtenemos un valor positivo).

Su velocidad en ese instante será de 39,93 m/s hacia adelante, ya que en ese punto solamente la componente horizontal de la velocidad tendrá un valor mayor a 0 m/s (39,93 m/s), mientras que su componente vertical será de 0 m/s, como recién vimos.

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Veamos a continuación otro ejemplo de tiro oblicuo:

Un gato de 50 centímetros de altura maúlla con ganas, instalado sobre un muro de 2,5 metros de altura. Juan está en su jardín, frente a él y a 18 metros del muro, y pretende ahuyentarlo arrojándole un zapato que debe pasar por encima del felino pero sin tocarlo para no lastimarlo. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando 53° con la horizontal, desde una altura de 2,25 metros.

a) Hallar a qué distancia por encima de donde estaba el gato pasó el zapato.

b) Determinar a qué distancia al otro lado del muro llegó el zapato al piso.

Ejemplo de tiro oblicuo
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Lo primero que tenemos que hacer es determinar los puntos de referencia de origen del sistema, que en este caso y = 0 a la altura del suelo mientras que x = 0 al mismo nivel horizontal desde donde parte el zapato.

Luego hay que hallar en qué instante el zapato pasará por la posición x del gato sobre el muro, que es 18 metros desde la mano de Juan.

Como el zapato parte a una velocidad de 15 m/s, formando 53° con la horizontal sus componentes verticales y horizontales serán:

vy = 15m/s . sen 53° = 12m/s
vx = 15
m/s . cos 53° = 9m/s

Dado que su velocidad horizontal constante es de
9m/s, de la ecuación horaria de posición en el movimiento rectilíneo uniforme y despejando el instante t obtenemos:

18 = 0 + 9 . (t - 0) = 9 t
18 / 9 = 2 segundos

Ahora que ya sabemos en qué instante pasará horizontalmente por la zona del muro y el gato, hay que buscar a qué altura se encontrará en el instante t = 2 segundos, utilizando la ecuación horaria de la posición para el movimiento rectilíneo uniformemente variado vertical causado por la fuerza de gravedad. Tengamos en cuenta que el zapato partió de una altura de 2,25 metros desde el piso, por lo que esa es su posición y inicial. La componente vertical de su velocidad inicial es 12 m/s.

y = 2,25 + (12 . 2) - (1/2 . 9,81 . 22)

y = 2,25 + 24 - 19,62 = 6,63 metros

Esto significa que como la cabeza del gato se encuentra a 3 metros de altura desde el piso y cuando el zapato pase por encima del gato se encontrará a 6,63 metros por encima del piso, el zapato pasará a 3,63 metros por encima de la cabeza del gato.

b) Para determinar a qué distancia al otro lado del muro llegó el zapato al piso, hay que buscar primero en qué instante su altura es igual a 0 metros del piso, utilizando la ecuación horaria del movimiento rectilíneo uniformemente variado vertical del zapato. Nuevamente comenzamos teniendo en cuenta que su posición vertical inicial es 2,25 metros de altura y la componente vertical de su velocidad inicial es 12 m/s.

0 m = 2,25 + (12 . t) - (1/2 . 9,81 . t2)

Como lo que tenemos es una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0, para hallar el valor de t utilizamos el conocido método de la fórmula cuadrática.

Metodo de resolucion de la funcion cuadratica

Si reordenamos los términos obtenemos:

-4,905 . t2 + 12 . t + 2,25 = 0

Donde a = -4,905 ; b = 12 ; c = 2,25

t = {-12 +- [122 - 4 . (-4,905) . 2,25]1/2} / 2 . -4,905

t = [-12 +- (144 + 44,145)1/2] / -9,81

t = (-12 +- 13,72) / -9,81

Tenemos dos posibles resultados:

  • t = (-12 + 13,72) / -9,81 = 1,72 / -9,81 = -0,17
  • t = (-12 - 13,72) / -9,81 = -25,72 / -9,81 = 2,62

Como el tiempo negativo no tiene sentido, nos queda el segundo resultado de t = 2,62 segundos.

Ahora solamente queda saber a qué distancia detrás del muro estará el zapato en el instante que toque el piso. Como dicho instante es 2,62 segundos, aplicamos la ecuación horaria de posición para el movimiento rectilíneo uniforme horizontal.

x = 0m + 9m/s(2,62s - 0s) = 23,58m

Y como el muro se encuentra a 18 metros delante de Juan, si restamos 23,58 - 18 obtenemos que el zapato tocará el piso a 5,58 metros pasando el muro.

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En la próxima sección estudiaremos movimientos circulares:
 
Continúa en Conceptos fundamentales de la física - Parte 2 >>


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