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Concepto de límite de una función

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Concepto de límite de una función

 

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Ya vimos cómo obtener la velocidad instantánea en casos en que la posición del cuerpo en movimiento se da en función de una fórmula lineal directamente proporcional al tiempo transcurrido y su gradiente (velocidad) en cada instante de un intervalo temporal se obtiene directamente dividiendo el desplazamiento ocurrido en una cierta cantidad de segundos. En estos casos la velocidad siempre es la misma en cualquier instante de un determinado intervalo de tiempo.

Pero si tenemos una gráfica de velocidad no lineal, o sea que la tasa de cambio de posición en función del tiempo varía de una manera no lineal, dando como resultado una curva bastante irregular. Lo que debemos hacer es ir tomando intervalos cada vez más pequeños y averiguar la velocidad media de esos intervalos cada vez más pequeños, que tienden a 0, intervalos temporales que cada vez se acercan más a 0 segundos. De esa manera nos vamos acercando cada vez más a la velocidad instantánea en el momento que nos interesa. Veamos un ejemplo en el que nos interesa conocer la velocidad instantánea exactamente en el segundo 4.

  • Primero buscamos la velocidad media en el intervalo temporal 0s - 5s en el que el cambio de posición es entre 8 y 28 metros. (28m - 8m) / 5s = 4 m/s
  • Luego achicamos un poco el intervalo entre 1s y 4,5 s en el que el cambio de posición es entre 12 y 18 metros. (18m - 12m) / 3,5s = 1,714 m/s
  • Luego pasamos a un intervalo aún más pequeño entre 2s y 4,5 s en el que el cambio de posición es entre 10 y 18 metros. (18m - 10m) / 2,5s = 3,2 m/s
  • Y seguimos achicando: (18m - 8m) / 1,5s = 6,67 m/s ; (18m - 8,5m) / 1s = 9,5 m/s ; (15m - 10m) / 0,4s = 12,5 m/s ; (14m - 11m) / 0,4s = 7,5 m/s ; (13m - 12m) / 0,25s = 4 m/s ; (13m - 12,55m) / 0,1s = 4,5 m/s ; (12,4999m - 12,45m) / 0,01s = 4,99 m/s ; (12,494999m - 12,49m) / 0,001 = 4,999 m/s

Como se puede ver, cuanto más pequeño el intervalo de tiempo (cuanto más tiende a 0 Δt) el resultado de la velocidad más se acerca a 5 m/s (primeo 4,5 m/s, luego 4,99 m/s, luego 4,999 m/s) por lo que llegamos a la conclusión que el límite de Δr/Δt, con Δt tendiendo a 0, es igual a 5 m/s, lo que significa que la velocidad instantánea en el segundo 4 es de 5 m/s. Y ese límite se escribe con la fórmula que se muestra reiteradamente en la imagen de arriba en cada etapa de achicamiento del intervalo temporal Δt.

La velocidad instantánea en el segundo 4, es una línea tangente a la gráfica cuya inclinación coincide con dicha velocidad. A esa línea tangente en matemática se la denomina derivada de una función en un punto dado, y muestra la tasa de cambio o la rapidez con que cambian los valores de la función en ese determinado punto. Si la función es lineal la tasa de cambio de valores es siempre la misma (por ejemplo, la tasa de cambio de posición en la función f(t) = v . t, con velocidad constante, es la velocidad v, ya que posición / t siempre da el mismo valor v) y su inclinación coincide con la gráfica. Pero si se trata de una función con una fórmula más compleja, dando una gráfica más irregular con curvas, la tasa de cambio de la gráfica también varía, por lo que la inclinación de la línea tangente en cada instante es distinta.

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