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Ejemplo de tiro oblicuo en física

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Ejemplo de tiro oblicuo en física

 

Fotos en el album: 73

 

Si se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido y el proyectil parte con una velocidad de 50 m/s en una dirección que forma 37° con la horizontal desde una altura de 2 metros del piso. a) Hallar la posición x, y del perdigón a los 2 segundos y 5 segundos después de haber partido, respectivamente. b) Determinar los componentes de los vectores velocidad (en los ejes x,y) en los instantes anteriores y representarlos. c) Hallar en qué instante se encuentra al mismo nivel que el de partida, qué posición ocupa y cuál es su velocidad en ese instante. d) ¿En qué instante el proyectil alcanzará su altura máxima? ¿Qué velocidad tendrá allí?

(Recordemos que el valor de la aceleración hacia abajo por la fuerza de gravedad es -9,81 m/s2)

a) Para comenzar a trabajar con este tiro oblicuo debemos separar la velocidad inicial de 50 m/s de dirección 37° en sus componentes vectoriales x e y. Tomaremos como punto de referencia inicial x = 0 a la posición de la boca del rifle desde donde sale el perdigón, y como punto inicial y = 0 la altura del suelo.

De las razones:

  • Seno α = Lado opuesto / Hipotenusa
  • Coseno α = Lado adyacente / Hipotenusa

Tenemos que Sen 37° = Componente y de la velocidad / 50m/s

Y que Cos 37° = Componente x de la velocidad / 50m/s

Por lo que para averiguar las componentes vectoriales x e y de la velocidad las despejamos a partir de las razones trigonométricas de seno y coseno para el ángulo de 37°:

Sen 37° . 50m/s = Componente y de la velocidad = 30,09m/s y
Cos 37° . 50m/s = Componente x de la velocidad = 39,93m/s x

Como la componente horizontal del tiro oblicuo es un movimiento rectilíneo uniforme, para averiguar la posición x del perdigón en diferentes instantes, utilizaremos la ecuación horaria de la posición en movimientos rectilíneos uniformes:

x(t) = x0 + v (t - t0)

Como la componente vertical del tiro oblicuo es un movimiento rectilíneo uniformemente variado, para averiguar la posición y del perdigón en diferentes instantes, utilizaremos la ecuación horaria de la posición en movimientos rectilíneos uniformemente variados:
 
x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1/2 a(t - t0)2

Luego de 2 segundos de salido del rifle el perdigón estará en:

x = 0m + 39,93m/s (2s - 0s) = 79,86m en x
y = 2m + 30,09m/s (2s - 0s) - 1/2 . 9,81(2s - 0s)2 = 42,56m en y (la posición inicial en y es 2m porque la boca del rifle se encuentra a esa altura).

A los 5 segundos de salido del rifle el perdigón estará en:

x = 0m + 39,93m/s (5s - 0s) = 199,65m en x
y = 2m + 30,09m/s (5s - 0s) - 1/2 . 9,81(5s - 0s)2 = 29,82m en y
 

b) Como ya hicimos la descomposición de la velocidad en el segundo 0 o instante inicial tenemos:

Sen 37° . 50m/s = Componente y de la velocidad = 30,09m/s y
Cos 37° . 50m/s = Componente x de la velocidad = 39,93m/s x

Dado que no hay ninguna fuerza horizontal ejerciéndose sobre el perdigón, la componente horizontal de su velocidad no variará con el tiempo, por lo que tanto a los 2 segundos como a los 5 segundos de haber sido disparado, su componente horizontal de velocidad siempre será de 39,93 m/s.

Sin embargo, dado que la fuerza de gravedad atrae hacia abajo al perdigón, genera aceleración negativa sobre el mismo, por lo que primero desacelerará su velocidad positiva (hacia arriba) y una vez que haya llegado al punto más alto de su trayectoria, por un instante infinitesimal tendrá velocidad vertical 0 m/s, y luego comenzará a acelerar hacia abajo. Su aceleración vertical siempre será negativa, con sentido hacia abajo.

Para la componente vertical utilizamos la ecuación horaria de la velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado.

v(t) = v0 + a(t - t0)

Por lo que la componente vertical de su velocidad a los 2 segundos será:

vy = 30,09m/s - 9,81m/s2 . (2s - 0s) = 10,47m/s

Y la componente vertical de su velocidad a los 5 segundos será:

vy = 30,09m/s - 9,81m/s2 . (5s - 0s) = -18,96m/s

Entonces las componentes de su velocidad serán:
 

  • a los 2 segundos serán: vx = 39,93m/s y vy = 10,47m/s (hacia adelante y arriba pero más despacio que al principio)
  • a los 5 segundos serán: vx = 39,93m/s y vy = -18,96m/s (hacia adelante y abajo)

c) La altura de partida del perdigón es de 2 metros por encima del suelo, y la ecuación que utilizaremos es la ecuación horaria de posición en el movimiento rectilíneo uniformemente variado que ocurre verticalmente por acción de la fuerza de gravedad. Por lo tanto hay que despejar en esa ecuación el instante t en el que se encuentra a la misma altura de partida:

2m = 2m + 30,09m/s (ts - 0s) - 1/2 . 9,81(ts - 0s)2

0 = 30,09 . t - 1/2 . 9,81 . t2

Ya que la ecuación quedó con el mismo formato de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0. Podemos aplicar el método para hallar el valor de x en funciones cuadráticas con ese formato, y en este caso el valor x a hallar vendría a ser el instante t:
Solucion de la funcion cuadratica

Si ordenamos los términos quedaría:

-4,905 t2 + 30,09 t + 0 = 0

Donde a = -4,905 ; b = 30,09 ; c = 0

t = [-30,09 +- (30,092 - 0)1/2 ] / -9,81

Tenemos entonces dos resultados para t:

t =-30,09 + 30,09 / -9,81 = 0 / 9,81 = 0

t = -30,09 - 30,09 / -9,81 = 6,13

En el primer caso t = 0, lo que significa el momento inicial; el otro instante en el que se encontrará a esa altura entonces es 6,13 segundos, que es el que nos interesa.

Por lo tanto luego de 6,13 segundos de disparado, el perdigón se encontrará a la misma altura de la cual partió.

Ahora buscaremos su posición en ese instante utilizando la ecuación horaria de posición para el movimiento rectilíneo uniforme horizontal (el vertical ya lo conocemos ya que es el mismo que el de partida).

x = 0 + 39,93 (6,13 - 0) = 39,93 . 6,13 = 244,77

Entonces su posición en el instante t = 6,13 segundos será x = 244,77 metros ; y = 2 metros.

La componente horizontal de su velocidad no varía mientras que la vertical sí por acción de la aceleración de la fuerza de gravedad. Entonces aplicamos la ecuación horaria de la velocidad para movimiento rectilíneo uniformemente variado.

vy = 30,09 - 9,81 . (6,13 - 0) = 30,09 - 60,14 = -30,05 m/s

Su valor es negativo indicando en ese punto su velocidad es hacia abajo y en constante aceleración negativa (lo que significa que luego de cada segundo cae con mayor velocidad, para ser más exactos 9,81 m/s más por cada segundo que pasa).

Ahora tenemos que combinar las dos componentes del vector velocidad aplicando el teorema de Pitágoras, ya que cada componente vendría a ser como los catetos de un triángulo rectángulo y el vector velocidad la hipotenusa:

(30,052 + 39,932)1/2 (donde la potencia de 1/2 equivale a raíz cuadrada) lo que equivale a 49,97 m/s.

d) Para encontrar la altura máxima que alcanzará el perdigón, debemos buscar primero en qué instante su velocidad vertical será de 0m/s (el punto donde el perdigón deja de subir para comenzar a bajar).

Para eso utilizaremos la ecuación horaria de la velocidad para el movimiento rectilíneo uniformemente variado de su componente vertical.

0 = 30,09 - 9,81 . t

Si despejamos t:

t = -30,09 / -9,81 = 3,07 segundos (recordemos que si dividimos dos valores negativos obtenemos un valor positivo)

Su velocidad en ese instante será de 39,93 m/s hacia adelante, ya que en ese punto solamente la componente horizontal de la velocidad tendrá un valor mayor a 0 m/s (39,93 m/s) mientras que su componente vertical será de 0 m/s, como recién vimos.

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