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Ecuación del movimiento circular uniforme

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Ecuación del movimiento circular uniforme

 

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Consideremos durante el movimiento circular uniforme de un objeto su posición y velocidad en dos instantes cercanos llamados ti y tf, representados por vectores de posición y velocidad r y v respectivamente. En el momento ti, el objeto se encuentra en un punto A representado por el vector posición ri y su velocidad es vi; mientras que en el momento tf, se encuentra en un punto B representado por el vector posición rf y su velocidad es vf. Las velocidades vi y vf tienen igual magnitud y difieren únicamente en su dirección. Además se muestran los vectores de diferencia de posición Δr y diferencia de velocidad Δv.
 
Sabemos que el valor de la velocidad (valor al que llamaremos u) siempre es el mismo y lo único que cambia es la dirección de la velocidad, por lo tanto:

u = ui = uf

Ahora debemos averiguar la aceleración, para ello utilizamos la ecuación para calcular la aceleración promedio:

a = (vf - vi) / (tf - ti) = Δv / Δt (o sea que la aceleración promedio equivale a dividir la diferencia de los vectores de velocidad en los instantes ti y tf entre el tiempo transcurrido entre ti y tf)

Si hacemos los cálculos vectoriales (como se enseñó en la primera parte de este tutorial) con los vectores de velocidad vi, vf en los tiempos ti,tf y el vector diferencia de velocidad Δv, colocándolos uno pegado al otro, obtenemos de la suma de vectores:

vf = vi + Δv

Entre los vectores de posición ri y rf unidos por Δr se forma un triángulo con ángulo Δθ; entre los vectores velocidad vi y vf unidos por Δv también se forma un triángulo con ángulo Δθ. Como los vectores de posición r y velocidad v son en todo momento perpendiculares entre sí (el vector posición equivale siempre al radio del círculo de trayectoria y el vector velocidad es siempre tangente a la circunferencia), los dos ángulos que se forman entre ri^rf y vi^vf son iguales (en este caso Δθ), por lo tanto los triángulos que se forman son similares (dos triángulos son similares cuando el ángulo entre cualquiera de sus lados es siempre el mismo y la razón o proporción de la longitud de estos lados es siempre la misma). Esto nos permite realizar la siguiente relación:

Δv / u = Δr / r

donde u = ui = uf es el valor o longitud del vector velocidad en todo momento y r = ri = rf es la longitud del vector posición (equivalente al radio del círculo) en todo momento.

Si despejamos Δv en la ecuación obtenemos:

Δv = u (Δr / r)

Y como a =  Δv / Δt

Si sustituimos Δv por u (Δr / r) obtenemos la fórmula:

a = Δv / Δt = (u / r) (Δr / Δt)

Si ahora hacemos que los puntos A y B representados por los vectores posición ri y rf en los instantes ti y tf estén lo más cerca posible y Δt tienda a 0; Δr / Δt tenderá a la velocidad u en el instante ti y la aceleración promedio se convertirá en la aceleración instantánea en el punto A. Por lo tanto:

ac = dv / dt = (u / r) (dr / dt) = (u . u) / = u2 / r (donde ac es aceleración centrípeta en cualquier instante y dr / dt es la velocidad instantánea de objeto en movimiento).

Una cosa que hay que aclarar es que a pesar que de la fórmula para obtener la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme llegamos a la conclusión que su magnitud siempre es la misma o constante, esto no significa que su vector sea constante ya que su dirección cambia constantemente durante el movimiento circular ya que siempre apunta hacia el centro del círculo.

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