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Por qué no se puede dividir por cero


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Cuando los estudiantes aprenden a dividir, una de las primeras cosas que se les explica es que la división por cero no es posible. Generalmente, este concepto se suele tener en cuenta de por vida al dividir, aunque sin conocer las verdaderas razones que impiden la división por cero. Asimismo, las calculadoras y computadoras devuelven un mensaje de error si se intenta dividir por cero.

A continuación, se explicará y graficará desde distintos puntos de vista y diversas maneras, la razón por la que no es posible dividir un número por cero.

Ante todo, para entender mejor esto, primero se debe definir brevemente y de la manera más sencilla posible qué es una división:

Partes de la operacion matematica de la division
Partes que componen a la operación matemática de división

Cuando se divide un número (dividendo) por otro número (divisor), lo que se intenta saber es cuántas veces entra el número divisor dentro del número que se está dividiendo. Otra manera de definirlo es que una división es averiguar cuántas veces se puede restar de un número dividendo al número divisor hasta que no quede ningún resto (es decir, resto 0).

Por ejemplo, si se intenta dividir 15 ÷ 3, lo que se busca es saber cuántas veces entra el número 3 dentro de 15:

15 ÷ 3 = 5
Porque 15 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0 (o sea, si se sustrae 5 veces al número 3 del 15, queda un resto de 0)

Otra manera de verlo es expresar que el número 15 puede ser dividido (es decir separado) en 5 partes iguales de 3 unidades cada una, o sea que el número 3 entra 5 veces en 15. Por eso, se dice que 15 ÷ 3 = 5.

Las divisiones también pueden expresarse como fracciones o números fraccionarios del tipo a / b donde un número a es dividido por un número b. En fracciones, el número a de arriba se llama numerador y equivale al dividendo de una división, mientras que el número b de abajo se llama denominador y equivale al divisor de una división.

Aclarados estos detalles, se puede proseguir con la explicación de cuáles son las causas por las que no se puede dividir un número por 0 (cero).

Si se consideran las siguientes divisiones en las que el divisor se va acercando cada vez más al cero, se obtiene:

2 ÷ 2 = 1 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener solamente 1 vez al número 2 (divisor).

2 ÷ 1 = 2 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 2 veces al número 1 (divisor).

2 ÷ 0,1 = 20 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 20 veces al número 0,1 (divisor).

2 ÷ 0,01 = 200 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 200 veces al número 0,01 (divisor).

2 ÷ 0,001 = 2000 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 2000 veces al número 0,001 (divisor).

2 ÷ 0,0001 = 20.000 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 20.000 veces al número 0,0001 (divisor).

2 ÷ 0,00001 = 200.000 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 200.000 veces al número 0,00001 (divisor).

2 ÷ 0,000001 = 2.000.000 . Esto significa que el número 2 (dividendo) puede contener 2.000.000 veces al número 0,000001 (divisor).

Como se puede notar, cuanto más se acerca el divisor a cero, mayor es el cociente, es decir que el resultado de la división es cada vez más grande.

Por lo tanto, cuanto más se acerca el divisor a cero, el resultado tiende hacia (infinito). Pero esto no significa que el resultado sea igual a ∞ , ya que infinito no es un número, sino tan solo un concepto que se refiere al crecimiento sin límites o sin fin de los números en matemática. Porque en matemática no existe un número máximo. Los números no tienen techo, no tienen fin. Se puede tener un número como el 1 seguido de diez ceros (diez mil millones), o el 1 seguido de cincuenta ceros (cien octillones), el 1 seguido de mil ceros, el 1 seguido de un millón de ceros, el 1 seguido de un billón de ceros, y así eternamente sin fin. Esta idea de crecimiento sin fin de los números, se sintetiza con el concepto de ∞.

Entonces, como en matemáticas no existe un número máximo, se dice que no se puede definir a infinito como un valor. En otras palabras, infinito es tan solo una idea de crecimiento sin límites, pero matemáticamente no se puede definir como un valor determinado. Por lo tanto, infinito es algo indefinido, y lo que no se puede definir en matemáticas no se puede considerar como valor cuantificable, o calculable, de hecho no se puede considerar ni siquiera como resultado. En otras palabras, matemáticamente, infinito no tiene sentido.

A raíz de ello, como al acercarse cada vez más el divisor a cero, el resultado de una división es cada vez más grande, se podría decir que la división por cero da como resultado infinito. Sin embargo, como infinito es algo matemáticamente indefinido, lo correcto es decir que: la división de un número por cero es indefinida.

Otra manera de demostrar por qué no es posible la división de un número por cero es a través de fracciones:

Por que no se puede dividir un numero por cero (demostracion con fracciones)
Por qué no se puede dividir un número por cero (demostración con fracciones) - Cliquear para ampliar la imagen

Teniendo en cuenta que las divisiones de dos fracciones se llevan a cabo dando vuelta las posiciones del numerador y denominador de la fracción divisora (el numerador pasa a la posición de denominador y el denominador a la posición de numerador), y luego multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, se concluye que:

Como se muestra arriba, cuanto más cercano a cero es el número representado por la fracción divisora, más grande es el resultado obtenido. Por lo tanto, cuanto más cercana a cero es la fracción divisora, el resultado tiende más hacia (infinito).

Sin embargo, es necesario reiterar que como infinito no es un número o un valor cuantificable, sino un concepto que se refiere al crecimiento sin fin de los números (porque no existe un número máximo en matemática), se trata de algo matemáticamente no cuantificable, algo indefinido. Entonces, se dice que la división por cero no se puede definir, y lo que es indefinido en matemática, no tiene sentido matemático, por lo tanto no se puede realizar.

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Alternativamente, otra forma de demostrar que la división entre cero no se puede realizar, es utilizando la definición que explica que la división es averiguar cuántas veces se puede restar de un número dividendo al número divisor hasta que no quede ningún resto (es decir, resto 0).

Por ejemplo, si se intenta dividir 12 ÷ 2, lo que se busca es saber cuántas veces entra el número 2 dentro de 12:

12 ÷ 2 = 6
Porque 12 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0 (o sea, si se sustrae 6 veces al número 2 del 12, queda un resto de 0)

Pero utilizando la misma definición, si se intenta dividir 12 ÷ 0 se tiene la siguiente situación:

12 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - ...................

Como se puede notar, si se sustrae una vez del dividendo 12 al divisor 0, el valor del dividendo continúa siendo 12. Si se lo sustrae una segunda vez, también continúa siendo 12. Entonces, por más que se siga sustrayendo mil veces, un millón de veces, o infinitas veces (o sea, sin fin) al divisor 0 del dividendo 12, éste último continúa siendo 12. De allí se concluye que por más que se sustraiga infinitas veces al número 0 del número 12, nunca se alcanza un resto cero. Es decir, la división es imposible, porque ∞ (infinito) no es un número, no es una cantidad exacta, sino una idea matemáticamente no cuantificable, que tan solo se refiere a que algo no tiene fin, pero que no puede ser utilizado en operaciones matemáticas. Infinito no es un número, no tiene valor cuantificable, y por lo tanto, lo que no puede ser utilizado en operaciones matemáticas, sencillamente se dice que es matemáticamente indefinido.

Entonces, si la cantidad de veces que hay que restar a 0 de 12 es ∞ (infinita), e infinito es algo matemáticamente indefinido (que no puede ser usado matemáticamente), por lo tanto la división de un número -en este caso 12- por 0 es un cálculo indefinido, por ende un cálculo que no se puede realizar.
 
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A continuación, se exponen las razones que demuestran que la división de un número cualquiera por 0 no tiene sentido.

1) Si se tienen las siguientes divisiones por cero:

1 / 0 = ∞

2 / 0 = ∞

3 / 0 = ∞

Y teniendo en cuenta que si se multiplica el cociente por el divisor, se vuelve a obtener el valor del dividendo:

1 = ∞  .  0

2 = ∞  .  0

3 = ∞  .  0

Se podría decir entonces que 1 = 2 = 3

Pero esto no tiene sentido, es una contradicción, ya que estos números no son iguales:

1 ≠ 2 ≠ 3

Y esto sucede porque no es un número, no tiene valor cuantificable y no es un resultado matemático que surge de una operación. En otras palabras, se trata de algo matemáticamente indefinido. Por lo tanto, la división por cero no es posible, por ser indefinido su resultado.
 
 
2) Otra forma de demostrar que la división entre cero no tiene sentido es utilizando la multiplicación de números por cero:


Si la división se define como un cociente c que es resultado de a / b:

a / b = c

Entonces:

a = c  .  b

Si se intenta dividir por cero (b = 0) hay que encontrar un número c que satisfaga lo siguiente:

a = c  .  0

Sin embargo, cualquier número multiplicado por 0 siempre da como resultado 0. Entonces si a = 2, b = 0:

2 / 0 = c

2 = c  .  0

Pero es imposible que un número c multiplicado por 0 de como resultado 2, ya que ningún número multiplicado por cero puede dar como resultado un valor distinto a cero.
 
Si c fuera infinito (ya que la división por cero tiende hacia infinito), en el ejemplo que se ofrece a continuación sucedería lo siguiente:

1 / 0 = ∞
 
2 / 0 = ∞

Entonces:

1 =   0

2 = ∞  0

Algo que no tiene sentido, ya que 1 ≠ 2. Asimismo, tampoco se cumple la regla de que cualquier número multiplicado por cero siempre devuelve como resultado cero. Esto sucede porque infinito no es un número y no tiene valor cuantificable. Por lo tanto, no se pueden efectuar operaciones matemáticas con (infinito).

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A pesar que en los ejemplos anteriores la división de un número por cero se expresa como igual a infinito (por ejemplo 1 / 0 = ∞), esto se hace sencillamente con fines didácticos, para que se entienda mejor la razón por la cual no se puede dividir un número por cero. Sin embargo, esta expresión no es correcta, ya que infinito no es un valor cuantificable, y no es un número sino una idea de que algo no tiene fin. Por lo tanto, no se puede decir que el resultado de una operación matemática es igual a algo no cuantificable.

Entonces, la siguiente no es una expresión correcta:

Dado un número a y un número b, si b = 0
a / b = ∞

La expresión anterior no es correcta porque infinito no es un número ni tiene valor cuantificable. Ninguna operación puede ser igual (=) a infinito. Por lo tanto, decir que si b = 0, a / b es igual a infinito no es correcto.

La forma correcta de expresar a la división por cero es la siguiente:

Limite de una division cuyo divisor tiende a cero

Y la forma correcta de decir verbalmente la expresión anterior es: Dada la división de un número a por un número b, cuando b tiende hacia cero, el límite de a / b tiende a infinito.
 

A pesar que el concepto matemático de límites (simbolizados lim) escapa al objetivo de este artículo, es bastante fácil de interpretar y se refiere a que cuanto más se acerca el número b a cero (sin llegar a ser cero), el resultado tiende más hacia infinito. Sin embargo, al decir que el límite de a / b tiende hacia infinito, esto significa que en realidad esta operación no tiene límite, porque infinito no es un número y sencillamente no se puede alcanzar (no existe un número máximo en matemáticas). Por lo tanto, la división por cero no tiene resultado exacto, es algo matemáticamente indefinido.

Brevemente, para saber leer la expresión anterior, la flecha que parte de b hacia 0 indica que b tiende a cero. El símbolo lim, se refiere al límite hacia el cual tienden los resultados de la división a / b cuanto más se acerca el divisor b al número cero. En este caso el límite tiende hacia infinito.
 

División por números negativos que tienden a cero 

Hasta aquí se ha explicado qué sucede al intentar dividir por números positivos que tienden a cero. Ahora surge la pregunta de qué ocurre si se intenta dividir por números que se acercan a cero desde el lado de los negativos. La respuesta es sencilla: ocurre exactamente lo mismo que con números positivos, solo que en lugar de tender hacia +∞, estas divisiones tienden hacia -∞ .

Si se consideran las siguientes divisiones en las que el divisor se va acercando cada vez más al cero, se obtiene:

2 ÷ (-2) = -1

2 ÷ (-1) = -2

2 ÷ (-0,1) = -20

2 ÷ (-0,01) = -200

2 ÷ (-0,001) = -2000

2 ÷ (-0,0001) = -20.000

2 ÷ (-0,00001) = -200.000

2 ÷ (-0,000001) = -2.000.000

Como se muestra en las divisiones anteriores, cuanto más se acerca el divisor a cero desde el lado de números negativos, menor es el cociente (más negativo), es decir que el resultado de la división tiende hacia -∞ .
 

Representación gráfica de la división por números que tienden hacia cero

  Grafico de hiperbola de la división 1/x
Gráfico de hipérbola de la división 1/x - Cliquear para ampliar la imagen

El gráfico que se forma al realizar la división 1/x se denomina hipérbola.

  • Cuando x tiende a cero, el resultado de la división tiende hacia ∞.
  • Cuando x tiende a ∞, el resultado de la división tiende hacia cero.
  • Cuando -x tiende a cero, el resultado de la división tiende hacia -∞.
  • Cuando -x tiende a -∞, el resultado de la división tiende hacia cero.

Sin embargo, el gráfico jamás toca al eje y, ya que nunca alcanza a infinito (porque no existe número máximo en matemáticas), y seguirá creciendo eternamente. Entonces, que el gráfico nunca alcance a infinito y nunca toque al eje y -porque sencillamente no existe infinito como número- es una demostración gráfica de que la división entre cero no se puede realizar.
 

Qué sucede con la división 0 / 0

Hasta aquí se ha analizado detalladamente la razón por la que no es posible la división por cero, sin embargo, puede surgir la duda de qué sucede al intentar dividir 0 entre 0, o sea: 0 ÷ 0 = ?

Un razonamiento que puede utilizarse es el de dividir a dividendos y divisores iguales entre ellos, y cada vez más cercanos a cero. Por ejemplo:

1 ÷ 1 = 1

0,1 ÷ 0,1 = 1

0,01 ÷ 0,01 = 1

0,000001 ÷ 0,000001 = 1

0,00000000001 ÷ 0,00000000001 = 1

Se podría decir entonces que cuando tanto el dividendo como el divisor son iguales y tienden a cero, el resultado será siempre 1. Por lo tanto, se podría suponer que 0 / 0 = 1.

Sin embargo, si lo que se intenta dividir es directamente al número cero por un divisor que tiende a cero, sucede lo siguiente:

0 ÷ 1 = 0

0 ÷ 0,1 = 0

0 ÷ 0,01 = 0

0 ÷ 0,000001 = 0

0 ÷ 0,00000000001 = 0

Desde este punto de vista, entonces se podría sostener que cuando el dividendo es igual a cero y el divisor tiende a cero, el resultado será siempre 0. Por lo tanto, se podría concluir que 0 / 0 = 0.

Pero si lo que se hace ahora es dividir un dividendo por un divisor que equivale a la mitad del dividendo, y ambos tienden a cero, sucede lo siguiente:

1 ÷ 0,5 = 2

0,1 ÷ 0,05 = 2

0,001 ÷ 0,0005 = 2

0,00001 ÷ 0,000005 = 2

0,00000001 ÷ 0,000000005 = 2

Desde este punto de vista, entonces se podría sostener que cuando el dividendo es el doble de grande que el divisor y ambos tienden a cero, el resultado será siempre 2. Por lo tanto, se podría suponer que 0 / 0 = 2.

Pero de los tres resultados anteriores surge algo que no tiene sentido:

0 / 0 = 0
0 / 0 = 1
0 / 0 = 2

Como se puede notar, al intentar realizar la operación 0 ÷ 0, se pueden obtener múltiples resultados (de hecho infinitos resultados), y esto no tiene sentido, ya que una división con más de un resultado no tiene sentido.

También se puede utilizar la definición que explica que la división es averiguar cuántas veces se puede sustraer de un número dividendo al número divisor hasta que no quede ningún resto (es decir, resto 0).

Si se intenta dividir 0 ÷ 0, lo que se busca es saber cuántas veces entra el número 0 dentro de 0:

0 - 0 = 0 (hay que sustraer 1 vez el divisor cero del dividendo cero para obtener un resto 0)

0 - 0 - 0 - 0 = 0 (hay que sustraer 3 veces el divisor cero del dividendo cero para obtener un resto 0)

0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 (hay que sustraer 5 veces el divisor cero del dividendo cero para obtener un resto 0)

0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 (hay que sustraer 11 veces el divisor cero del dividendo cero para obtener un resto 0)

De lo anterior se obtiene que:

0 / 0 = 1
0 / 0 = 3
0 / 0 = 5
0 / 0 = 11

Nuevamente, una división con infinitos resultados distintos, lo que matemáticamente no tiene sentido. Por lo tanto, la división 0 / 0 no puede ser matemáticamente definida, en otras palabras, no se puede efectuar.
 
 
Fuentes de información:


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